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Triángulo

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Un triángulo.

En el plan, triángulo (también acepto como trilátero) es la figura geométrica que ocupa el espacio interno limitado por tres líneas rectas que concursan, dos a dos, en tres puntos diferentes formando tres lados y tres ángulos internos que suman 180°. También se puede definir un triángulo en superficies generales. En ese casos, son llamados de triángulos geodésicos y tienen propiedades diferentes. También podemos decir que el triángulo es la unión de tres puntos no-colineales (perteneciente a un plan, en el transcurso de la definición de los mismos), por tres segmentos de recta.

El triángulo es el único polígono que no posee diagonales y cada uno de sus ángulos externos es suplementario del ángulo interno adyacente. El perímetro de un triángulo es la suma de las medidas de sus lados. Se denomina la región interna de un triángulo de región convexa (curvado en la faz externa) y la región externa de región côncava (curvado en la faz interna).

Tabla de contenido

Tipos de triángulos

Sin hablar de los triángulos esféricos, los triángulos más simples son clasificados en consonancia con los límites de las proporciones relativas de sus lados:

Se denomina base el lado sobre cuál se apóia el triángulo. En el triángulo isósceles, se considera base el lado de medida diferente.

Todos esos triángulos son los mismos encontrados en un plan de dos dimensiones, pongan en grandes extensiones, como en la superficie del planeta por ejemplo, los ángulos para continuar los mismos es necesario que la largura de los lados sean deformados o sea ampliados en igual proporción al perímetro de la esfera.

Equilateral triangle Isosceles triangle Scalene triangle
Equilátero Isósceles Escaleno

Un triángulo también puede ser clasificado en consonancia con sus ángulos internos:

Archivo:Triangolo-Rettangolo.png Archivo:Triangolo-Ottuso.png Acute triangle
Rectángulo Obtusângulo Acutângulo

Condición de existencia de un triángulo

Para que se pueda construir un triángulo es necesario que la medida de cualquier uno de los lados sea más pequeño que la suma de las medidas de los otros dos y mayor que el valor absoluto de la diferencia entre esas medidas.

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): |b-c| < a b+c. <


el triángulo es un aspecto lítico de la fisica, aritmética y geometría.

Hechos Básicos

Hechos elementales sobre triángulos fueron presentados por Euclides en los libros 1-4 de su obra Elementos aproximadamente en 300 a.C..

Un triángulo es un polígono.

Dos triángulos son dichos semejantes se uno puede ser obtenido por la expansión uniforme del otro. Este es el caso si, y solamente si, sus ángulos correspondientes son iguales, y eso ocurre, por ejemplo, cuando dos triángulos comparten un ángulo y los lados opuestos a ese ángulo son paralelos entre sí. El hecho crucial sobre triángulos similares es que las larguras de sus lados son proporcionales. Es decir, si el mayor lado de un triángulo es dos veces el mayor lado del triángulo similar, se dice, entonces, que el más pequeño lado será también dos veces mayor que el más pequeño lado del otro triángulo, y la largura del lado medio será dos veces el valor del lado correspondiente del otro triángulo. Así, la razón del mayor lado y el más pequeño lado del primer triángulo será la misma razón del mayor lado y el más pequeño lado del otro triángulo.

Usándose triángulos rectángulos y el concepto de similaridade, las funciones trigonométricas de seno y coseno pueden ser definidas. Esas son funciones de un ángulo que son investigadas en la trigonometria .

En los casos a continuación, será usado un triángulo con vértices A, B y C, ángulos α, β y γ y lados a , b y c . El lado a es opuesto al vértice A y al ángulo α, el lado b es opuesta al vértice B y al ángulo β y el lado c es opuesta al vértice C y al ángulo γ.

En la geometría Euclidiana, en consonancia con el Teorema angular de Tales, la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es igual a dos ángulos rectos (180° o π radianes). Eso permite la determinación de la medida del tercer ángulo, desde que sean conocidas las medidas de los otros dos ángulos.

Ex:Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ


Archivo:Triangulo180.jpg
Los ángulos A y A' son iguales (dos paralelas cortadas por una transversal). Los ángulos B y B' son iguales por ser alternos internos. Los ángulos C y C' son iguales por ser opuestos por el vértice. Así se ve que la suma de los ángulos internos del triángulo es 180º.

Existe un Corolário de ese Teorema, que afirma que la medida de un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no-adyacentes.

Ex: Siendo Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): y

la medida del ángulo externo del triángulo que tiene como vértice el vértice Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): C

, se puede afirmar que: Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): y = \alpha + \beta


Un teorema céntrico es el Teorema de Pitágoras, que afirma que en cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos. Si el vértice C del ejemplo dato sea un ángulo recto, se puede escriba eso de la siguiente manera:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): c^2 = a^2 + b^2


Eso significa que, conociendo las medidas de dos lados de un triángulo rectángulo, se puede calcular la medida del tercer lado — propiedad única de los triángulos rectángulos.

El Teorema de Pitágoras puede ser generalizado por la ley de los cosenos:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \gamma


Esa ley es válida para todos los triángulos, aún si γ no fuera un ángulo recto y puede ser usada para determinar el tamaño de lados y ángulos de un triángulo, desde que la medida de tres o dos lados y de un ángulo interno sean conocidas.

La ley de los senos dice: Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \frac{\sin\alpha}la=\frac{\sin\beta}b=\frac{\sin\gamma}c=\frac1d , donde d es el diámetro de la circunferência circunscrita al triángulo (una circunferência que pasa por los tres vértices del triángulo). La ley de los senos puede ser usada para computar la medidas de los lados de un triángulo, desde que la medida de dos ángulos y de un lado sean conocidas.

Existen dos triángulos rectángulos especiales que aparecen frecuentemente en geometría. El llamado "triángulo 45º-45º-90º" posee ángulos con esas medidas y la proporción de sus lados es: Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 1:1:\sqrt{2} . El "triángulo 30º-60º-90º" posee ángulos con esas medidas y la proporción de sus lados es: Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 1:\sqrt{3}:2 .

Área

Producto Base Altura

El área de un triángulo es la mitad del producto de la medida de su altura por la medida de su base. Así, el área del triángulo puede ser calculada por la fórmula:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): A = {(B \cdot h)\over 2} , donde h es la altura del triángulo, b la medida de la base.

Triángulos equiláteros

Si el triángulo sea equilátero de lado l, su área A puede ser obtenida con:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): A = {l^2 \sqrt{3}\over 4} .

O entonces usando su altura h y la fórmula de la base veces la altura. La altura h de un triángulo equilátero es:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): h = {l \sqrt{3}\over 2} .

Vale notar que esas dos fórmulas para los triángulos equiláteros son obtenidas usando las funciones seno o coseno y usando la altura del triángulo, que lo divide por la mitad en dos triángulos rectángulos iguales.

Semiperímetro

Otra manera de calcular su área es a través del Teorema de Herão (o Heron), también conocido como fórmula del semi-perímetro:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): La = {\sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}} ,

donde

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): p = {(a + b + c) \over 2}

es el semi-perímetro.

Lados

También podemos calcular el área a partir de los lados del triángulo. Siendo a y b dos lados cualesquiera de un triángulo, y Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \alpha

el ángulo entre ellos, tenemos que el área es:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): La = {la \cdot b \cdot sen(\alpha) \over 2} .

Rayo circunscrito

Hay aún la fórmula del área del triángulo en función de las medidas de los lados Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): a, b, c

y del rayo de la circunferência circunscrita a ese triángulo Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): r

, demostrada por la ley de los senos:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): La = {la \cdot b \cdot c \over {4*r}}


Puntos, líneas y círculos asociados a un triángulo

Mediatriz

El circuncentro es el centro de la circunferência circunscrita al triángulo.

La mediatriz es la recta perpendicular a un lado del triángulo, trazada por su punto medio. Las tres mediatrizes de un triángulo se encuentran en un único punto, el circuncentro, que es el centro de la circunferência circunscrita al triángulo, que pasa por los tres vértices del triángulo. El diámetro de esa circunferência puede ser hallado por la ley de los senos.

El Teorema de Tales (o Ley angular de Tales) determina que si el circuncentro esté localizado en un lado del triángulo, el ángulo opuesto a este lado será recto. Determina también que si el circuncentro esté localizado dentro del triángulo, este será acutângulo; si el circuncentro esté localizado fuera del triángulo, este será obtusângulo.

Altura

El punto de intersección de las alturas es el ortocentro.

Altura es un segmento de recta perpendicular a un lado del triángulo o a su prolongación, trazado por el vértice opuesto. Ese lado es llamado base de la altura, y el punto donde la altura encuentra la base es llamado de pie de la altura.

El punto de intersección de las tres alturas de un triángulo se denomina ortocentro (H). En el triángulo acutângulo, el ortocentro es interno al triángulo; en el triángulo rectângulo, es el vértice del ángulo recto; y en el triángulo obtusângulo es externo al triángulo. Los tres vértices juntos con el ortocentro forma un sistema ortocêntrico.

La altura de todo y cualquier triángulo es dado por la fórmula : Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): h^2 = {b^2-(c-x)(c+x)\cdot }


Mediana

El punto de intersección de las tres medianas es el baricentro o centro de gravedad.

Mediana es el segmento de recta que une cada vértice del triángulo al punto medio del lado opuesto. La mediana relativa a la hipotenusa en un triángulo rectángulo mide mitad de la hipotenusa.

El punto de intersección de las tres medianas es el baricentro o centro de gravedad del triángulo. El baricentro divide la mediana en dos segmentos. El segmento que une el vértice al baricentro vale el doble del segmento que une el baricentro al lado opuesto de este vértice. En el triángulo equilátero, las medianas, mediatrizes, bisectrices y alturas son coincidentes. En el isósceles, sólo las que llegan al lado diferente,en el escaleno, ninguna de ellas. Aún para el triángulo Isósceles, vale resaltar que la formación de la bisectriz, coincidiendo con el punto medio de su base, divide tres semi-rectas iguales, las cuales son percibidas con la inscripción del círculo formado por el incentro de la bisectriz, donde hay dos semi-rectas, las cuales serán el rayos del círculo, siendo así, dividiéndose en tres partes iguales la altura del triángulo (que también coincide con la mediana y la bisectriz, cada Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \dfrac{1}{3} ), se explican las relaciones de la semi-recta que parte del punto céntrico del círculo hasta el lado del triángulo valga lo aunque el rayo, es decir, Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \dfrac{1}{3}

y que el resto hasta el vértice opuesto a ese lado valga Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \dfrac{2}{3}

.

Síntesis para el triángulo Isósceles: Propiedad Baricentro: Semi-rectas hendidas en dos seguimentos, de entre los cuales, uno es el doble del otro. Se entiende por lo tanto en el triángulo Isósceles que: Si una parte valle Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \dfrac{1}{3}

la otra valdrá el doble. Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 2\cdot \dfrac{1}{3}
= Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \dfrac{2}{3}

.

Bisectriz

El punto de intersección de las tres bisectrices es el incentro.

La bisectriz interna de un triángulo corresponde al segmento de recta que parte de un vértice, y va hasta el lado opuesto del vértice en que partió, dividiendo su ángulo en dos ángulos congruentes.

En un triángulo hay tres bisectrices internas, siendo que el punto de intersección de ellas se llama incentro.

El círculo que tiene el incentro como centro y es tangente a los tres lados del triángulo es denominado círculo inscrito.

Ya la bisectriz externa es el segmento de la bisectriz de un ángulo externo situado entre el vértice y la intersección con la prolongación del lado opuesto.

Las bisectrices externas dos a dos tienen un punto de intersección, denominado ex-incentro en lo que respecta al lado que contienen los vértices por los cuales pasan esas rectas.

Dato un ex-incentro, el círculo que tiene ese punto como centro, y es tangente a un lado y a la prolongación de los dos otros lados del triángulo, es denominado círculo ex-inscrito.

En un triángulo equilátero, el incentro, el ortocentro y el baricentro son el mismo punto.

Recta de Euler

ES la recta que contiene el ortocentro,el baricentro y el circuncentro (los centros).

Círculo de los Nueve Puntos

ES la circunferência que contiene los puntos medios de los lados, los pies de las alturas, y los puntos medios de los segmentos que unen el ortocentro a los vértices.

Relaciones de desigualdades entre lados y ángulos

Bibliografia

Ver también

Wikilivros
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