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Nota: Este artículo es sobre trabajo en su acepção física. Para otros significados, vea | Mecánica Clásica | ||||||||||||||||
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Movimiento · Energía · Fuerza
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En física, trabajo (normalmente representado por W, del inglés work, o por la letra griega tau) es una medida de la energía transferida por la aplicación de una fuerza al largo de un desplazamiento.
El trabajo de una fuerza F aplicada al largo de un camino C puede ser calculada de forma general a través de la siguiente integral de línea:
- Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \operatorname{W} _{c} = \int_{c} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
- donde:
- F es el vector fuerza.
- r es el vector posición o desplazamiento .
El trabajo es un número real, que puede ser positivo o negativo. Cuando la fuerza tutéa en el sentido del desplazamiento, el trabajo es positivo, es decir, existe energía siendo añadida al cuerpo o sistema. El contrario también es verdadero, una fuerza en el sentido opuesto al desplazamiento retira energía del cuerpo o sistema. Cual tipo de energía, si energía cinética o energía potencial, depende del sistema en consideración.
Como muestra la ecuación arriba, la existencia de una fuerza no es sinônimo de realización de trabajo. Para que tal acontezca, es necesario que haya desplazamiento del punto de aplicación de la fuerza y que haya una componente no nula de la fuerza en la dirección del desplazamiento. ES por esta razón que aparece un producto interno entre F y r . Por ejemplo, un cuerpo en movimiento circular uniforme (velocidad angular constante) está sujeto a una fuerza centrípeta. Sin embargo, esta fuerza no realiza trabajo, visto que es perpendicular a la trayectoria.
Por lo tanto hay dos condiciones para que una fuerza realice trabajo:
a) Que haya desplazamiento; b) Que haya fuerza o componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento.
Esta definición es válida para cualquier tipo de fuerza independientemente de su origen. Así, puede tratarse de una fuerza de fricción, gravítica (gravitacional), eléctrica, magnética, etc.
Tabla de contenido |
Tipos de Trabajo
>Trabajo nulo, cuando trabajo es igual a cero; >Trabajo Motor, cuando la fuerza y el desplazamiento están en el mismo sentido; >Trabajo resistente, cuando la fuerza y desplazamiento poseen sentidos contrarios (Generalmente es representado así: T= -F.d).
Trabajo y energía
Si una fuerza F es aplicada en un cuerpo que realiza un desplazamiento dr, el trabajo realizado por la fuerza es una grandeza escalar de valor:
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- Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \operatorname{W} = {\mathbf{F}} \cdot d{\mathbf{r}}
Si la masa del cuerpo sea supuesta constante, y obtengamos dWtotal como el trabajo total realizado sobre el cuerpo (obtenido por la suma del trabajo realizado por cada una de las fuerzas que tutéa sobre el mismo), entonces, aplicando la segunda ley de Newton se puede demostrar que:
-
- Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): d \operatorname{W} _{total} = d\operatorname{ Y_{c}}
donde Y c es la energía cinética. Para un punto material, Y c es definida como:
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- Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \operatorname{Y_{c}} = \frac{\operatorname{m} \operatorname{v^{2}}}{2}
Para objetos extensos compuestos por diversos puntos, la energía cinética es la suma de las energías cinéticas de las partículas que constituyen un tipo especial de fuerzas, conocidas como fuerzas conservativas, puede ser expreso como el gradiente de una función escalar, la energía potencial, V:
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- Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): {\mathbf{F}} = - grad{\operatorname{(V)}}
Si supusiéramos que todas las fuerzas que tutéan sobre un cuerpo son conservativas, y V es la energía potencial del sistema (obtenida por la suma de las energías potenciales de cada punto, debidas cada fuerza), entonces:
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- Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): {\mathbf{F}} \cdot d{\mathbf{r}}= - grad{\operatorname{(V)}} \cdot d{\mathbf{r}}= - d \operatorname{V}
luego,
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- Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): - d \operatorname{V} = d{\operatorname{Y_{c}}} \Rightarrow d{( \operatorname{Y_{c} + V} )} = 0
Este resultado es conocido como la ley de conservación de la energía, indicando que la energía total Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \operatorname{Y_{t}} = \operatorname{Y_{c} + V}
es constante (no es función del tiempo).
Concepto
Los principios del concepto de trabajo remontan a la ecuaciones de Galileu del movimiento retilínio uniformemente variado (MRUV). Tenemos que el desplazamiento Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \Delta s
(positivo para una dirección de la recta y negativo para la otra) equivale a
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \Delta s = \frac {v^2 - v_0^2}{2a}
Lo que nos da una relación entre el desplazamiento y el cambio de velocidad (Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): v
es la velocidad correspondiente al final del desplazamiento y Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): v_0 es la velocidad correspondiente a su inicio).
Esa ecuación es el primer paso para un tratamiento de la mecánica que sea independiente del tiempo envuelto. Pero aún hay en ella un factor que remite al tiempo: la aceleración. De forma qualitativa, esa ecuación nos dice que, cuando mayor fue el módulo de la aceleración que llevó el cuerpo de la velocidad Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): v_0
a la velocidad Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): v
, más pequeño es el espacio recorrido durante esa transformación. De modo simple: si el cambio de velocidades tardó más, entonces sobró más tiempo para que el cuerpo se moviera mientras eso. Para eliminar ese factor que es tan dependiente de la manera como se dio el cambio de velocidades (lo que es contraditório con un tratamiento atemporal), debemos multiplicar ambos lados de la ecuación por Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): a
y pasar a pensar en Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): a\Delta s como una entidad única, relacionada sólo con la variación absoluta del cuadrado de la velocidad dividido por dos:
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): a \Delta s = \frac {v^2}{2} - \frac {v_0^2}{2}
Independientemente de como fue realizada la transformación, lo Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \frac {v^2}{2} - \frac {v_0^2}{2}
será siempre igual a la entidad Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): a \Delta s
, de modo que finalmente tenemos un tratamiento atemporal en el movimiento uniformemente variado.
Sin embargo, queremos extender eso al movimiento general. Para eso, primero tenemos que establecer una relación entre el movimiento retilínio y el movimiento curvo, a fin de extender nuestros conceptos de uno para el otro. Para hacer eso, acordamos las relaciones entre los vectores velocidad, posición y aceleración: la aceleración es la derivada temporal de la velocidad y la velocidad es la derivada temporal de la posición. Ahora pensemos en cualquier "desplazamiento infinitesimal" Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): d \vec r . Tenemos que:
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): d\vec r = \frac {d \vec r}{dt} . dt = \vec v dt
O sea, cualquier desplazamiento infinitesimal se da en la dirección de la velocidad instantánea (desde que la posición sea descrita por una función vectorial continua). Como la dirección de la velocidad instantánea es una sólo, entonces cada desplazamiento infinitesimal es retilínio.
Ahora, debemos descubrir lo en cuanto a nuestra entidad Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \frac {v^2}{2} - \frac {v_0^2}{2}
cambia en ese intervalo infinitesimal de tiempo en que los desplazamientos son retilínios. Para eso, derivamos la entidad en relación al tiempo:
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \frac {d}{dt} \left[ \frac {v^2}{2} - \frac {v_0^2}{2} \right] = v\frac {dv}{dt}
Note que la derivada Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \frac {dv}{dt}
NO corresponde al vector aceleración, como mostraremos inmediatamente.
Antes de eso, volvamos por un instante a nuestra entidad Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): a \Delta s = \frac {v^2}{2} - \frac {v_0^2}{2}
(que sólo es válida para el MRUV). Claramente, si consideráramos el desplazamiento como siendo siempre positivo, entonces una aceleración negativa (en el sentido opuesto al del movimiento) implica una disminución de la magnitud de la velocidad, mientras una aceleración positiva (en el mismo sentido del movimiento) aumenta la magnitud de la velocidad.
Y en cuanto a una aceleración que no se da en la misma dirección del desplazamiento? Veamos la siguiente relación:
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \vec v = v \hat v
Donde Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): v
es la magnitud de la velocidad y Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \hat v es el vector unitario que indica la dirección de la velocidad. Siendo así, para obtener la aceleración derivamos la expresión Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): v \hat v
, usando la regla de la cadena:
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \vec a = \frac {dv}{dt} \hat v + v \frac {d \hat v}{dt}
Donde vemos que un componente de la aceleración (en la misma dirección de la velocidad), cambia la magnitud de la velocidad (Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \frac {dv}{dt} \hat v ), mientras el otro componente cambia sólo la dirección de la velocidad (Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): v \frac {d \hat v}{dt} , acordando que la derivada de un vector unitario es siempre en la dirección perpendicular a ese vector unitario). O sea, como destacamos arriba, la derivada Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \frac {dv}{dt}
corresponde a sólo un componente de la aceleración: el componente que se da en la dirección de la velocidad.
Ese componente equivale a:
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \frac {dv}{dt} = \frac {\vec la \cdot \vec v}{v}
Note que, cuando ese producto escalar es negativo, es porque la componente de la aceleración que está en la dirección del desplazamiento está en el sentido opuesto a él. Eso implica una disminución de la magnitud de la velocidad, en concordância con la situación encontrada en el MRUV.
Ahora, el cambio infinitesimal en nuestra entidad Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \frac {v^2}{2} - \frac {v_0^2}{2}
queda:
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \frac {d}{dt} \left[ \frac {v^2}{2} - \frac {v_0^2}{2} \right] = v\frac {dv}{dt} = \vec la \cdot \vec v
Pero queremos saber ese cambio en un intervalo de tiempo cualquiera. Entonces integramos con relación al tiempo:
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \frac {v^2}{2} - \frac {v_0^2}{2} = \int \vec la \cdot \vec v dt
Finalmente hallamos nuestra entidad. Sin embargo, en analogía al que aconteció en el MRUV, lo que tenemos aquí es una integral dependiente del tiempo, lo que no condiz con lo que estamos buscando desde el inicio: un tratamiento atemporal. Así, hacemos simplemente:
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \int \vec la \cdot \vec v dt = \int \vec la \cdot \frac {d\vec r}{dt} dt
Lo que constituye una integral de línea:
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \int_C \vec a \cdot d \vec r = \frac {v^2}{2} - \frac {v_0^2}{2}
Con los límites de integración, obviamente, correspondiendo a los puntos inicial y final de la trayectoria.
Nuestro *trabajo* está casi listo. Sólo necesitamos multiplicar esa entidad que encontramos por la masa . Eso tiene incontables ventajas, pero aquí daremos sólo una razón conceptual: la aceleración es un concepto secundario en comparación con la importancia de la fuerza. Intercambiar, en la ecuación arriba, la aceleración por la fuerza quiere decir traer esa entidad para más cerca del mundo físico. Eso también se debe a la conexión del trabajo con el concepto de energía , que es una cantidad que se conserva, y que está conectada a la masa.
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \int_C m \vec a \cdot d\vec r = \int_C \vec F \cdot d\vec r
Así, tenemos, finalmente, el trabajo TOTAL sobre una partícula:
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): W = \int_C \vec F \cdot d\vec r
Donde Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \vec F
es la fuerza resultante. El trabajo realizado por otra fuerza cualquiera es análogo, intercambiándose la fuerza total por la fuerza cualquiera. Note que la componente del trabajo de una fuerza cualquiera que contribuye para la componente fuerza resultante en la dirección del desplazamiento es, justamente, el producto escalar entre la fuerza cualquiera y la dirección del desplazamiento, lo que justifica esa similaridade.
Unidades
La unidad SÍ de trabajo es el joule (J), que se define como el trabajo realizado por una fuerza de un newton (N) tuteando al largo de un metro (m) en la dirección del desplazamiento. El trabajo puede igualmente expresarse en N.m, como se depreende de esta definición. Estas son las unidades más corrientes, sin embargo, en la medida en que el trabajo es una forma de energía , otras unidades son por veces empleadas.
Otras unidades
El Quilojoule, equivalente a Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 10^3
Joules y el erg, que equivale a: 1 Joule = Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 10^3*10^2*10^2 erg = Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 10^7 erg.
Otras fórmulas
Para el caso simple en que el cuerpo se desplaza en movimiento retilíneo y la fuerza es paralela a la dirección del movimiento, el trabajo es dado por la fórmula:
- Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \operatorname{W} = \operatorname{Fr} \;
donde F es sólo la magnitud de la fuerza y r es la distancia recorrida por el cuerpo. Si la fuerza se oponga al movimiento, el trabajo es negativo. De forma más general, la fuerza y el desplazamiento pueden ser tomados como grandezas vectoriales y combinados a través del productointerno :
- Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \operatorname{W} = \mathbf{F}\cdot\mathbf{r}
Esta fórmula es válida para situaciones en que la fuerza forma un ángulo con la dirección del movimiento, desde que la magnitud de la fuerza y dirección del desplazamiento sean constantes. La generalización de esta fórmula para situaciones en que la fuerza y la dirección varían al largo de la trayectoria (o del tiempo) puede ser hecha recurriendo al uso de diferenciales. El trabajo infinitesimal dW realizado por la fuerza F al largo del desplazamiento infinitesimal dr es entonces dato por:
- Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): d\operatorname{W} = \mathbf{F}\cdot d{\mathbf{r}}
La integración de ambos lados de esta ecuación al largo de la trayectoria resulta en la ecuación general inicialmente presentada.
