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Teorema del trabajo-energía

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El teorema del trabajo-energía es un teorema de la mecánica clásica, según el cual, el trabajo mecánico, Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): W , realizado sobre un cuerpo de masa , Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): M , por una fuerza es igual la variación de la energía cinética del cuerpo:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): W = \Delta K


donde, Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \Delta K

es la diferencia entre la energía cinética final, Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): K_f

, y la energía cinética inicial, Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): K_i , del cuerpo, Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \Delta K = K_f - K_i .


Este teorema también es llamado de Teorema de la Energía Cinética (TEC).

Demostración: Caso Particular, Fuerza Constante

Esta demostración del teorema trabajo-energía es una de las más bellas de la mecánica clásica. Para demostrarlo, partimos de las definiciones de velocidad y aceleración y usamos la segunda ley de Newton para, por fin, usar las definiciones de trabajo y energía cinética.

La demostración asume que el cuerpo está en movimiento retilíneo uniformemente variado (MRUV), o sea, que su aceleración lineal es constante. Del punto de vista de la dinámica, esto equivale a decir que la fuerza que realiza trabajo sobre el cuerpo también es constante. Para facilitar la demostración, vamos a representar las grandezas vectoriales desplazamiento, velocidad, aceleraçao y fuerza en la suyas formas escales. Es decir posible con una elección adecuada de un referencial inercial, por ejemplo: si alineáramos el eje-x del referencial a la dirección del movimiento del cuerpo. La demostración también asume que el cuerpo se comporta como una partícula y, por conveniência, vamos a asumir que el instante inicial del movimiento, Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): t_i , es cero, Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): t_i=0 , y que el instante final, es Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): t_f=t .


Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): v \equiv \frac{dx}{dt}


donde, Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): x=x(t)

es la posición  del cuerpo en función del tiempo, Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): t

.


,

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): la \equiv \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2} ,

tenemos que

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): dv = a \,dt ,


con Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): la=constante . Integrando ambos lados de la ecuación:


Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \int dv = \int a\,dt


Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): v_f - v_i = a\, (t-0)


Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): v_f - v_i = a\, t


Esta es una de las ecuaciones cinemáticas del MRUV. Aislando el tiempo:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): t = \frac{v_f - v_i}{a}




Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): la = \frac{d^2x}{dt^2}

:


Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): x_f = x_i + v_i t + \frac{1}{2} a t^2


Aplicando Baskhara para resolver la ecuación de segundo grado arriba, tenemos:


Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): t = \frac{-v_i \pm \sqrt{v_i^2 - 4 \,\frac{1}{2}\, a (x_i-x_f)}}{2\, \frac{1}{2}\, a}


Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): t = \frac{-v_i \pm \sqrt{v_i^2 - 2\, a (x_i-x_f)}}{a}




Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \frac{v_f - v_i}{a =} \frac{-v_i \pm \sqrt{v_i^2 - 2\, a (x_i-x_f)}}{a}


Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): v_f - v_i = -v_i \pm \sqrt{v_i^2 + 2\, a (x_f-x_i)}


Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): v_f = \pm \sqrt{v_i^2 + 2\, a (x_f-x_i)}


Elevando ambos lados de la ecuación arriba al cuadrado:


Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): v_f^2 = v_i^2 + 2\, a (x_f-x_i)


Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): v_f^2 - v_i^2 = 2\, a (x_f-x_i)


Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \frac{v_f^2 - v_i^2}{2} = a\, (x_f-x_i)


como Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \Delta x = (x_f-x_i)


Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \frac{v_f^2 - v_i^2}{2} = a\, \Delta x


Hasta aquí, utilizamos sólo conceptos cinemáticos, como desplazamiento, velocidad, aceleración y tiempo. A partir de este paso, vamos a introducir conceptos de la dinámica: masa, fuerza, trabajo y energía cinética. Multiplicando todos los términos de la ecuación arriba por la masa, Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): m , del cuerpo:


Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2 = m\, a\, \Delta x


, donde


Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2 = F \, \Delta x


es el trabajo mecánico, Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): W

, realizado por la fuerza constante, Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): F , sobre la masa Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): m

para desplazarla por Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \Delta x

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): W=F\,\Delta x


luego,

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2 = W


Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): K , como siendo la mitad del producto de la masa por la velocidad cuadrática de una partícula,


Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): K \equiv \frac{1}{2} m \, v^2


tenemos que

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): K_f - K_i = W


Haciendo Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \Delta K \equiv K_f - K_i , tenemos finalmente

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): W = \Delta K


conforme enunciado por el teorema trabajo-energía.

Demostración: Caso General, Fuerza Variable

Ahora vamos a considerar el caso más general, en que la fuerza Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): F

que tutéa sobre el cuerpo

no es constante, pudiendo variar su dirección, sentido e intensidad al largo del tiempo, Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \vec{F}=\vec{F}(t) . En este caso, partimos de la definición de trabajo ,

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): W \equiv \int\ \vec{F}\, d\vec{r}


donde, Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \vec{r}=\vec{r}(t)

es el vector desplazamiento. 

Aplicando la segunda ley de Newton:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): W = \int m\, \vec{a \,}d\vec{r}


y la definición de aceleración, Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \vec{a ,.}


Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): W = \int m\, \frac{d\vec{v}}{dt}\, d\vec{r} = \int m\, \frac{d\vec{r}}{dt}\, d\vec{v}


Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): W = \int m\, \vec{v} d\vec{v}


cuya solución es


Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): W = \frac{1}{2}m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2


Introduciendo la definición de energía cinética,


Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): K \equiv \frac{1}{2}m v^2


Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): W = \Delta K


conforme el teorema.