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Serie de potencias

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En matemática, una serie de potencias (de una variable) es una serie infinita de la forma

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n = a_0 + a_1 (x-c) + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots

donde a n representa el coeficiente de la n-ésimo término, c es una constante, y x varía en torno a c (por esta razón, algunas veces la serie es dicha centrada en c ). Esta serie generalmente surge como una serie de Taylor de una función.

En muchas situaciones, c es igual a cero, que en una serie de Taylor es un caso particular denominado serie de Maclaurin. En esos casos, la serie de potencias toma la siguiente forma simplificada

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots.


Esas series de potencias aparecen primariamente en análisis, pero también ocurre en combinatória (bajo el nombre de funciones geradoras) y en ingeniería eléctrica (bajo el nombre de Transformada Z).

Ejemplos

Cualquier polinomio puede ser fácilmente expreso como una serie de potencia en torno a un centro c, aunque uno o más coeficientes sean iguales a cero. Por ejemplo, el polinomio Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): f(x) = x^2 + 2x + 3

puede ser escrito como la serie de potencia en torno a Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): c=0
como
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): f(x) = 3 + 2 x + 1 x^2 + 0 x^3 + 0 x^4 + \cdots \,

o en torno al centro Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): c=1

como
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): f(x) = 6 + 4 (x-1) + 1(x-1)^2 + 0(x-1)^3 + 0(x-1)^4 + \cdots \,

o aún en torno a otro centro c.

Una serie geométrica

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots,

que es válida para Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): |x|<1 , es uno de los ejemplos más importantes de series de potencia, así como la fórmula de la función exponencial

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): y^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots,

y la fórmula del seno

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \sin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}+\cdots,

válida para toda realx.

Esas series de potencias son también ejemplos de series de Taylor. Sin embargo, existen series de potencias que no son series de Taylor de una función cualquiera, tal como

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \sum_{n=0}^\infty n! x^n = 1 + x + 2! x^2 + 3! x^3 + \cdots.


Potencias negativas no son permitidas en una serie de potencias, por ejemplo Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 1 + x^{-1} + x^{-2} + \cdots

no es considerada una serie de potencia (aunque sea una serie de Laurent). Similarmente, potencias fracionais, tales como Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): x^{1/2} , no son consideradas series de potencias (vea serie de Puiseux).

Rayo de convergencia

Una serie de potencia irá convergir para algunos valores conforme los valores tomados de la variable x, y puede divergir para otros. Siempre hay un número r con 0 ≤ r ≤ ∞ tal que la serie converge cuando |xc| <r y diverge para |xc| > r. El número r es llamada de rayo de convergencia de la serie de potencias; en general él es dada como

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): r=\liminf_{n\te lo\infty} \left|a_n\right|^{-\frac{1}{n}}

o, equivalentemente,

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): r^{-1}=\limsup_{n\te lo\infty} \left|a_n\right|^{\frac{1}{n}}


Un método más rápido de calcular el rayo de convergencia es

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): r^{-1}=\lim_{n\te lo\infty}\left|{a_{n+1}\over a_n}\right|


si el límite existe.

La serie converge absolutamente para |x - c| < r y converge uniformemente en todo subconjuntocompacto de x { : |xc| < r}.

Para |x - c| = r, no se puede hacer ninguna afirmativa general sobre la convergencia de la serie.

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