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Raíz cuadrada

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Matemáticamente, la raíz cuadrada de un número real no negativo x es el número real no negativo que, cuando multiplicado por sí mismo, iguala x. La raíz cuadrada de x es simbolizada por √x. Por ejemplo: Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \sqrt{16} = 4\,

porque 4 × 4 = 16, y √2 = 1.41421... . Las raíces cuadradas son importantes para la resolución de ecuaciones cuadráticas (ecuaciones del 2º grado). La extensión de la función raíz cuadrada a números negativos lleva a la creación de los números imaginários y al cuerpo de los números complejos.

El primer uso del símbolo de la raíz cuadrada remonta al siglo XVI. Se piensa que su origen está en la letra r minúscula, primera letra de radix (en latim, raíz).

Puede también ser una operación geométrica - a partir de un segmento de recta dado determinar un otro cuya largura sea igual a la raíz cuadrada del inicial[1].

Tabla de contenido

Propiedades

Las siguientes propiedades de la función raíz cuadrada son válidas para todos los números reales positivos x y y :

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \sqrt{x}+\sqrt{y} = \sqrt{x+y+2\sqrt{xy}}
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \sqrt{x}-\sqrt{y} = \sqrt{x+y-2\sqrt{xy}}
siempre que x ≥ y
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \sqrt{x^2} = \left|x\right|
para todo el número real x (ver valor absoluto)
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}


La aplicación de la función raíz cuadrada a un número racional da en general origen a un número algebraico; √x es racional se y solamente si x pueda ser representado por una razón entre dos cuadrados perfectos. Por ejemplo, √2 es irracional (ver artículo raíz cuadrada de dos).

Geométricamente, la función raíz cuadrada transforma el área de un cuadrado en la largura de su lado.

Admítase que x y a son reales, y que x² = a ,y que se quiere determinar x. Un error frecuente es aplicar la función raíz cuadrada y concluir que x = √a .Tal no es cierto una vez que la raíz cuadrada de x ² no es x, pero sí su valor absoluto |x| (una de las propiedades arriba mencionadas). Por lo tanto, sólo se puede concluir que |x| = √a ,o, de otra forma, que x = ±√a ..

Cuando se pretende probar que la función raíz cuadrada es continua o diferenciável , o en el cálculo de ciertos límites, la siguiente propiedad es de gran utilidad:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \sqrt{x} - \sqrt{y} = \frac{x-y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}


Tal es válido para cualesquier x y y no negativos, siendo por lo menos uno de ellos diferente de cero.

La función f(x) = √x tiene el siguiente gráfico:

Archivo:Funcao raíz cuadrada.svg

La función es continua para toda la x no negativo, y diferenciável para toda la x positiva. (no es diferenciável para x = 0 una vez que el declive de la tangente a la curva en ese punto es +∞. Su derivada es dada por

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): f'(x) = \frac{1}{2\sqrt x}


Las series de Taylor para x = 1 pueden ser encontradas usando el teorema binomial:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \sqrt{x+1}=1 + \sum_{n=1}^\infty { (-1)^{n+1} (2n-2)! \over n! (n-1)! 2^{2n-1} }x^n


Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 + \dots


para |x| < 1.

Medios de calcular la Raíz cuadrada

Calculadoras

Las calculadoras portátiles típicamente implementan buenas rutinas para computar la función exponencial y el logaritmo natural, y ellas computam la raíz cuadrada de x usando la identidad:Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \sqrt{x} = y^{\frac{1}{2}\ln x}

La misma identidad es explorada cuando computamos raíces cuadradas con tábuas de logaritmos o réguas de cálculo.

Método babilônio

Un algoritmo frecuentemente usado para aproximar √n es conocida como "método babilônio" (porque, se especula, este era el método usado en la Mesopotâmia para calcular la raíz cuadrada[2], y es el mismo obtenido al aplicarse el Método de Newton a la ecuación Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): x^2 - n = 0\, . Para encontrarse la raíz cuadrada de un número real n, se procesa como a continuación:

  1. Inicie con un número positivo arbitraria r (preferentemente próximo a la raíz);
  2. Sustituya r por la media de r y n/r ;
  3. Repita el segundo paso para obtener una aproximación mejor.

Este algoritmo es quadraticamente convergente, que signfica que el número de dígitos correctos de r dobla cada repetición.

Él, sin embargo, no da la raíz exacta, pero da una óptima aproximación. Abajo, un ejemplo del método para mejor compreensão

Método Babilônio (exemplificado)

El método babilônio es un método que da una aproximación de la raíz cuadrada. O sea no es un método perfecto, presenta un margen de error (muy pequeña, desprezível para cálculos que no necesitan mucha precisión. De hecho, dependiendo de la aproximación todas las casas decimais estarán correctas) . Pero se sea para cálculos simples, es bueno, pues no es necesario tanto rigor.

Digamos que se quiera extraer la raíz cuadrada de 66.

  1. Halle el cuadrado perfecto que más se aproxima con el número.

5²=25
6²=36
7²=49
8²=64
9²=81

En ese caso el cuadrado que más se aproxima es 64. Nota: Se usa siempre el cuadrado más pequeño que el número buscado, aunque el cuadrado mayor sea más próximo.

  1. Extrae la raíz cuadrada del cuadrado que más se aproximó. La raíz cuadrada de 64 es 8. En ese ejemplo llamaremos 8 como A.
  1. Divida el número original por A, hasta que se tenga el doble de casas decimais que A.

66:8 = 8,2

En ese ejemplo llamaremos 8,2 como B

  1. Sumamos A con B y dividimos por 2. Ese número llamaremos de C.

8 + 8,2 = 16,2
16,2 : 2 = 8,1

  1. Ahora dividimos el número original (en ese caso 66) por C hasta que se tenga el doble de casas decimais de C. El resultado llamaremos de D.

66 : 8,1 = 8,148

  1. Sumamos C y D y dividimos por 2.Ese número llamaremos de Y.

8,124

Esa sería la raíz cuadrada de 66. Podríamos dividir lo 66 por Y y continuar ese mismo proceso, sólo que eso acabaría por dar algunas impresiciones. Y como generalmente no se necesita una raíz cuadrada precisíssima, entonces podemos decir que es innecesario proseguir. Pero si quiera continuar, el algoritmo continúa el mismo y usted puede intentar llegar á 10 o 12 casas decimais. Pero el resultado sería un poco impreciso.

Entonces podemos decir que la raíz cuadrada de 66 es aproximadamente 8,124. Al probemos en una calculadora: 8,124038405... O sea ese método es bueno para hallar la raíz cuadrada.

Un algoritmo exacto semejante al de la división larga

Este método, a pesar de muy más lento que el método Babilônio, tiene la ventaja de ser exacto: dato un número que tiene una raíz cuadrada cuya representación decimal termina, entonces el algoritmo termina y produce la raíz cuadrada correcta después de un número finito de pasos. Él puede ser usado, por lo tanto, para checar si un dato número es un cuadrado perfecto.

Escriba el número en decimal y divídalo en pares de digitos, comenzando del punto. Los números son colocados de una manera similar al algoritmo de división larga y la raíz cuadrada final aparecerá por encima del número original.

Para cada iteración: Traiga para bajo el par el más significativo de los dígitos aún no usados y añádalos a todo el restante. Este es el valor actual consultado en etapas 2 y 3. Si r denotar la parte del resultado encontrado así distante, determine el mayor tecleo x que no hace y = x(20r + x) para exceder el valor actual. Coloque el dígito nuevo x en la línea del quociente. Subtraia y del valor actual para dar forma a un restante nuevo. Si el restante sea cero y no haya no más dígito para traer para bajo el algoritmo terminó. Si no continúe con etapa 1. Ejemplo: Que es la raíz cuadrada de 152,2756?

       ____1__2._3__4_
       |  01 52.27 56                        1
x         01                   1*1=1         1
         ____                                __
          00 52                              22
2x        00 44                22*2=44        2
         _______                             ___
             08 27                           243
24x          07 29             243*3=729       3
            _______                          ____
                98 56                        2464
246x            98 56          2464*4=9856      4
               _______
                00 00          El algoritmo termina:  la respuesta es 12,34

Aunque demostrado aquí para números de la base 10, el procedimiento trabaja para algunas bases, incluyendo la base 2. En la descripción arriba, 20 medios doblan la base de número usada, en el ejemplo de binario esto serían realmente 100 . que el algoritmo está en el hecho muy más fácil de ejecutar en la base 2, como en cada etapa solamente los dos dígitos 0 y 1 tienen que ser probados.

Ecuación de Pell

La ecuación de Pell es un método para encontrar aproximaciones racionales de raíces cuadradas de las integráis.

Encontrando Raíces cuadradas usando aritmética mental

Basado en la Ecuación de Pell's este es un método para obtener la Raíz cuadrada simplemente subtraindo números impares.

Ex: Para obtener Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \sqrt{27}

nodos comenzamos con la siguiente secuencia:
  1. Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 27-1 = 26
  1. Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 26-3 = 23
  1. Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 23-5 = 18
  1. Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 18-7 = 11
  1. Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 11-9 = 2

5 pasos fueron tomados y eso nos lleva que la parte entera de la raíz cuadrada de 27 es 5.

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 2\equipos 100 = 200

y Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 5\equipos 20 + 1 = 101
  1. Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 200-101 = 99

El próximo número es 1.

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 99\equipos 100 = 9900

y Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 51\equipos 20 + 1 = 1021
  1. Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 9900-1021 = 8879
  1. Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 8879-1023 = 7856
  1. Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 7856-1025 = 6831
  1. Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 6831-1027 = 5804
  1. Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 5804-1029 = 4775
  1. Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 4775-1031 = 3744
  1. Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 3744-1033 = 2711
  1. Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 2711-1035 = 1676
  1. Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 1676-1037 = 639

El próximo número es 9.

El resultado nos da 5.19 con una aproximación de la raíz cuadrada de 27.

Método de las Fracciones Continuadas

Irracionales Cuadráticos, que son los números envolviendo raíces cuadradas en la forma (a +√b)/c, son compuestos por periodos de fracciones continuadas. Esto hace con que ellas sean fáciles de ser calculadas recursivamente, dato el periodo. Por ejemplo, para calcular √2, nodos tenemos que usar el hecho de que √2-1 = [0;2,2,2,2,2,...], y usar la relación recursiva: a n+1=1/(2+a n ) con a 0=0 para obtener √2-1 dada una precisión especificada por n niveles de recursividade, y añadir 1 al resultado para obtener √2.

Raíz cuadrada de números complejos

Para todo númerocomplejo z no-nulo existen exactamente dos números w tales que w² = z. La definición usual de √z es como sigue: si z = r exp(iφ) es representado en coordenadas polares con -π < φ ≤ π, entonces hacemos √z = √r exp(iφ/2). Esto definido, la función raíz cuadrada es holomórfica en todo punto excepto en los números no-positivos reales (donde ella no es ni continua). La serie de Taylor arriba para √(1+x) continúa válida para números complejos x con |x| < 1.

Cuando el número complejo está en la forma rectangular, la siguiente fórmula puede ser usada:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\left|x+iy\right| + x}{2}} \pm i \sqrt{\frac{\left|x+iy\right| - x}{2}}


donde la señal de la parte imaginária de la raíz es lo aunque la señal de la parte imaginária del número original.

Perciba que, a causa de la naturaleza descontínua de la función raíz cuadrada en el plan complejo, la regla √(zw) = √(z)√(w) es en general falsa. Si fuera tomada erróneamente como verdadera, esta regla puede llevar la numerosas "pruebas" erradas, como por ejemplo la siguiente prueba real que muestra que -1 = 1:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): -1 = i \equipos i = \sqrt{-1} \equipos \sqrt{-1} = \sqrt{-1 \equipos -1} = \sqrt{1} = 1


La tercera igualdad no puede ser justificada.

Sin embargo, la regla puede estar errada sólo hasta un factor -1, √(zw) = ±√(z)√(w), es verdadero para ambos ± tanto + como - (pero no ambos a la vez). Perciba que √(c²) = ±c, por lo tanto √(a ²b²) = ±ab y finalmente √(zw) = ±√(z)√(w), con el uso de a = √(z) y b = √(w).

Raíces cuadradas de matrices y operadores

Si A es una matriz positiva definida (o un operador positivo definido), entonces existe exactamente una matriz positiva definida (ídem para operador) B tal que B² = A ;definimos √A = B.

Más genéricamente, para cada matriz u operador normal A existen operadores normales B tales que B² = A .En general, hay varios operadores B para cada A y la función raíz cuadrada no puede ser definida para operadores normales de una manera satisfactoria.

Raíz cuadrada de los 20 primeros números enteros positivos

√ 1 = 1
√ 2 ≈ 1,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462
√ 3 ≈ 1,7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909
√ 4 = 2
√ 5 ≈ 2,2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638
√ 6 ≈ 2,4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457
√ 7 ≈ 2,6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230
√ 8 ≈ 2,8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924
√ 9 = 3
√10 ≈ 3,1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639
√11 ≈ 3,3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609
√12 ≈ 3,4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818
√13 ≈ 3,6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293
√14 ≈ 3,7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307
√15 ≈ 3,8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937
√16 = 4
√17 ≈ 4,1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338
√18 ≈ 4,2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386
√19 ≈ 4,3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203
√20 ≈ 4,4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418

Ver también

Referencias

  1. Construcciones geométricas rigurosas
  2. Fowler, David; Eleanor Robson (November 1998). "Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 inContext ". Historia Mathematica 25 (4): 366-378.)

Conexiones externas