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Proporcionalidad

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La Proporción es la igualdad entre razones.

La proporcionalidad , para la matemática, la química y la física , es una relación entre grandezas. La proporcionalidad directa es un concepto matemático ampliamente difundido en la población laica pues es bastante útil y de fácil resolución a través de la "regla de tres".Cuando existe proporcionalidad directa, al resultado se llama, constante de proporcionalidad.

Tabla de contenido

Definición

La proporcionalidad es una relación binaria que puede ocurrir en una pareja de funciones reales inversíveis.

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \exists ! \propto : \mathbb{R_*}^2 \te lo \mathbb{B}


Una función es proporcional a otra se y solamente se existe un uníco conjunto de o uno (se a=b) o dos (se a≠b) reales constantes (denominados constantes de proporcionalidad) que son iguales a los quocientes entre una y otra:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \forall a,b \in \mathbb{R_*}^2 \quad\quad a \propto b \iff \exists ! k \quad k = \frac{a b.}{}


El conjunto de constantes es dado por:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): k \in \left\{ \frac{a b}{}, \frac{b}{la \right\.} }


Y mantienen la propiedad de ser inversas multiplicativas una de la otra.

Propiedades

Propiedades de la proporcionalidad demostradas y probadas abajo:

Equivalente

La relación de proporcionalidad es reflexiva, comutativa (o "simétrica") y transitiva , por lo tanto, es una relación de equivalência.

Reflexiva

Toda función es proporcional a sí misma.

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): la \propto a


Probada apartir de la definición:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \frac{a a}{} = 1


QED. Dígase de pasada, este es el único caso en que existe una sólo constante de proporcionalidad.

Comutativa (o "Simétrica")

No existe orden entre los argumentos d'una proporcionalidad.

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): la \propto b \iff b \propto a


Eso porque comparten del mismo conjunto de constantes de proporcionalidad:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \left\{ \tfrac{a b}{}, \tfrac{b}{a \right\} } = \left\{ \tfrac{b}{a ,}\tfrac{a b}{} \right\}


QED.

Transitiva

La proporcionalidad es transitiva:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): la \propto b \and b \propto c \iff a \propto c


Portando la expresión arriba puede ser simplificada en:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): la \propto b \propto c


Probada apartir de la definición:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \begin{align} a = &k_1 \cdot b \\ b &= k_2 \cdot c \\ \therefore a = &k_1 k_2 \cdot c \\ \end{align}


El producto entre constantes es constante – QED.

Mecanismos de resolución

He ahí algunos procesos de cálculo que conservan una proporcionalidad verdadera:

  1. Multiplicación de ambos hayamos
  2. Inversão de ambos hayamos
  3. Eliminación de constantes

Algorítimos

  1. "Regla de tres" o "Multiplicación cruzada"
  2. "Regla de tres compuesta"

Formas de proporcionalidad

Retórica Simbología Ejemplo
"variación proporcional" Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \Delta a \propto \Delta b Rectas paralelas (en consonancia con la geometría analítica)
"directamente proporcional" Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): la \propto b Semejanza de triángulos
"inversamente proporcional" Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): ab \propto 1 Ley de Boyle-Mariotte (presión y volumen)
"proporcional al cuadrado" Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): la \propto b^2 Esfera (rayo y volumen)
"inversamente proporcional al cuadrado" Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): ab^2 \propto 1 Gravitação Universal y Ley de Coulomb (fuerza y distancia)
"proporcional al cubo" Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): la \propto b^3 Semejanza de pirámides
"inversamente proporcional al cubo" Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): ab^3 \propto 1 Fuerza dipolo permanente (fuerza y distancia)
"cuadrado proporcional al cubo" Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): a^2 \propto b^3 Tercera ley de Kepler (periodo y semieixo mayor)
"en divina proporción" Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \tfrac{a+b}{a =} \tfrac{a b.}{} Las alturas del Hombre vitruviano hasta el umbigo y hasta la cabeza.

Proporcionalidad inversa

Si dos funciones son inversamente proporcionales, entonces una es porporcional a la inversa multiplicativo de la otra.

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): la \propto b^{-1} \iff b \propto a^{-1}


Eso ocurre por qué podemos inverter ambos hayamos de la expresión de proporcionalidad. Ambas formas establecen que:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): ab \propto 1


"Divina proporción"

Cuando el "número de oro" Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \left( \varphi \approx 1.618 \right)

es una constante d'una relación verdadera de proporcionalidad entre funciones positivas se dice que están en divina proporción.

Eso ocurre se y solamente se:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \frac{a+b}{a =} \frac{a b}{} \quad\therefore\quad \frac{a b}{} = \varphi


Aplicaciones

Además de un enorme número de aplicaciones cotidianas, la proporcionalidad, asociada al análisis dimensional es muy útil al empirismo científico.

La proporcionalidad también es de interés de los artes y del estudio de la estética.

Ver también

Bibliografia

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