Progresión geométrica

progresión geométrica - Wikilingue - Encydia

Una progresión geométrica (P.g. o P.G. ) es una secuencia numérica en que cada término, a partir del segundo, es igual al producto del término anterior por una constante Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): q\,\! . Esta constante Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): q\,\!

es llamada razón de la progresión geométrica. La letra q fue escogida por ser inicial de la palabra quociente.

Algunos ejemplos de progresión geométrica:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \left (1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,...\right)\,\!

, donde Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): q=2\,\!

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \left (1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},\frac{1}{32},\frac{1}{64},\frac{1}{128},\frac{1}{256},...\right)\,\!

, donde Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): q=\frac{1}{2}\,\!

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \left (-3,9,-27,81,-243,729,-2187,...\right)\,\!

, en que Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): q=-3\,\!

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \left(7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,...\right) \,\!

, en que Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): q=1\,\!

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \left(3,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...\right) \,\!

, en que Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): q=0\,\!

Tabla de contenido

1 Definición por recursão y fórmula del término general
2 Suma de los tengamos que una P.G.
- 2.1 Demostración
3 Suma de los infinitos tengamos que una P.G.
4 Producto de los tengamos que una P.G.
5 Clasificación de las progresiones geométricas
6 Progresión Aritmética Geométrica
7 Ver también
8 Conexión externas

Definición por recursão y fórmula del término general

Se acostumbra denotar por Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): a_n

n-ésimo término de una progresión geométrica. Así, la progresión queda totalmente definida por el valor de su término inicial Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): a_1
y su razón q.

La sucesión de los términos es obtenida por recursão:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): a_n=a_1, n=1\,

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): a_{n+1}=q\cdot a_{n}, n=2,3,4,\ldots

ES fácil demostrar por inducción matemática que:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): a_n=a_1.q^{n-1}\,\!

En algunos contextos (por ejemplo, al usar el lenguaje de programación C), puede ser conveniente considerar que el término inicial de la PG tiene índice cero (Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): a_0 ). En este caso, el término general queda:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): a_n = a_0 \ q^n\,

De modo general, la n-ésimo término puede ser calculado a partir de la m-ésimo término simplemente por:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): a_n = a_m \ q^{n - m} , n>m

Suma de los tengamos que una P.G.

La suma de los tengamos que una P.G., a partir del primero, es definida por:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i = a_1 + a_2 + \ldots + a_n, n\ge 1

, vea notação de somatório.

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): S_n=\frac{a_1(q^{n}-1)}{q-1}

Demostración

Esa fórmula puede ser explicada así. Escriba:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): S_n = a_1 + a_1 \ q + \ldots + a_1 \ q^{n-1}\,

Multiplique por la razón(q):

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): q \ S_n = a_1 \ q + a_1 \ q^2 + \ldots + a_1 \ q^n\,

Subtraia la primera suma de la segunda, cancelando los términos repetidos:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): q \ S_n - S_n = a_1 \ q^n - a_1\,

lo que es equivalente a:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \left( q-1 \right) S_n = a_1 \left( q^n - 1 \right) \,

Divida ambas los términos por: :Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): (q-1)\neq 0

y el resultado sigue.

Suma de los infinitos tengamos que una P.G.

Ver artículo principal: serie geométrica

La suma de los infinitos tengamos que una P.G. es llamada serie geométrica y está bien definida cuando Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): |q|<1 . Su suma es:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): S_\infty=\sum_{n=1}^{\infty}a_1 q^{n-1}=\frac{a_1}{1-q}

Ahora, se Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): q \geq 1

y Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): a_1>0
entonces su suma es más infinito y se Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): q \geq 1
y Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): a_1<0

, su suma es menos infinito.

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): S_{\infty}=\left\{\begin{array}{ll} \frac{a_1}{1-q}, &|q|<1\\ +\infty, & q\geq 1, a_1>0\\ -\infty, & q\geq 1, a_1<0\\ 0, & a_1=0; \end{array}\right.

Obs.: Esta tabla no agota todos los casos. Observe cuidadosamente el caso Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): q\ge-1 , por ejemplo. Observe también que Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): q

puede ser complejo. El tratamiento de estas series puede ser visto en el artículo sobre series divergentes.

Producto de los tengamos que una P.G.

El producto de los tengamos que una Progresión Geometrica, a partir del primero, es dada por: Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): P_n=a_1^n.q^{\frac{n.(n-1)}{2}}

El producto también puede ser determinado sin el conocimiento de la razón: Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): P_n = \prod_{i=1}^{n} la_{i}= (a_1 \equipos a_n)^{\frac{n}{2}} , siendo similar a la forma del Somatória de la P.A..

Clasificación de las progresiones geométricas

Las P.G. pueden ser clasificadas en cinco grupos conforme el valor de q .

Progresión geométrica constante

Una progresión geométrica constante es toda progresióngeométrica en que todos los términos son iguales, siendo que para eso la razón q tiene que, si a1 diferente de 0(cero), ser siempre 1 o 0 (nulo).

Ejemplos de progresión geométrica constante:

P.g.(1,1,1,1,1,1,1,1,1,...) - razón q = 1
P.g.(0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razón nula o indeterminada

Progresión geométrica creciente

Una progresión geométrica creciente es toda progresióngeométrica en que cada término, a partir del segundo, es mayor que el término que el antecede, siendo que para eso hay dos casos: para_{a 1} positivo la razón q tiene que ser siempre positiva y mayor que 1 y para_{a 1} negativo la razón q tiene que ser positiva y menor que 1.

Ejemplos de progresión geométrica creciente:

P.G. (1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,...) - razón q = 2
P.G. (2,6,18,54,162,486,1458,4374,13122,...) - razón q = 3
P.G. (-100,-10,-1,-0.1,-0.01,-0.001,-0.0001,-0.00001,...) - razón q = 1/10

Progresión geométrica decrescente

Una progresión geométrica decrescente es toda progresióngeométrica en que cada término, a partir del segundo, es más pequeño que el término que el antecede, siendo que para eso hay dos casos: para_{a 1} positivo la razón q tiene que ser siempre positiva y menor que 1 y para_{a 1} negativa la razón q tiene que ser positiva y mayor que 1.

Ejemplos de progresión geométrica decrescente:

P.G. (-1,-2,-4,-8,-16,-32,-64,-128,-256,-512,-1024,-2048,-4096,...) - razón q = 2
P.G. (8,4,2,1,1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,1/64,1/128,...) - razón q = 1/2

Progresión geométrica oscilante

Una progresión geométrica oscilante (o alternante ) es toda progresióngeométrica en que todos los términos son diferentes de cero y dos términos consecutivos tiene siempre señales opuestas, siendo que para eso la razón q tiene que ser siempre negativa y diferente de cero .

Ejemplos de progresión geométrica oscilante:

P.G. (3,-6,12,-24,48,-96,192,-384,768,...) - razón q = -2
P.G. (1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,...) - razón q = -1

Progresión geométrica casi nula

Una progresión geométrica casi nula es toda progresióngeométrica en que el primer término es diferente de cero y todos los demás son iguales a cero, siendo que para eso la razón q tiene que ser siempre igual a cero.

Ejemplos de progresión geométrica casi nula: