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Producto vectorial

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En matemática, el producto vectorial es una operación binaria sobre vectores en un espacio vectorial. Puede ser denominado también como producto externo. Su resultado difiere del producto escalar por ser también un vector, en vez de un escalar. Su principal uso se basa en el hecho que el resultado de un producto vectorial es siempre perpendicular a ambos vectores originales.

Tabla de contenido

Definición

La notação del producto vectorial entre dos vectores a y b del espacio vectorial Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \mathbf R^3

 es a ×  b (en manuscritos, algunos matemáticos escriben a ∧  b para evitar la confusión con la letra x).

Podemos lo definís cómo

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \mathbf{a \equipos} \mathbf{b} = \mathbf\hat{n} \left| \mathbf{a \right|} \left| \mathbf{b} \right| sen \theta


donde θ es la medida del ángulo entre a y b (0° ≤ θ ≤ 180°) en el plan definido por los dos vectores, y Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \mathbf\hat{n}

es el vector unitario perpendicular a tanto a cuánto  b.

El problema con esta definición es que existen dos vectores unitarios que son perpendiculares a la a y b simultáneamente: si Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \mathbf\hat{n}

es perpendicular, entonces Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): -\mathbf\hat{n}

también lo es.

El resultado correcto depende de la orientación del espacio vectorial, i.y. de la quiralidade del sistema de coordenadas (i, j, k). El producto vectorial a × b es definida de tal forma que (a , b, a × b) se hace destro se (i, j, k) es destro o canhoto se (i, j, k) es canhoto.

Una forma fácil de determinar el sentido del vector resultante es la "regla de la mano derecha". Si un sistema de coordenadas es destro, basta apuntar el indicador en la dirección del primero operando y el dedo medio en la dirección del segundo operando. De esta forma, el vector resultante es dado por la dirección del pulgar.

Como el producto vectorial depende del sistema de coordenadas, su resultado es referenciado como pseudovetor. Felizmente en la naturaleza los productos vectoriales aparecen a los pares, de modo que la orientación del sistema de coordenadas es cancelado por el segundo producto vectorial.

El producto vectorial puede ser representado gráficamente, con respecto a un sistema de coordenadas destro, como se sigue:

Propiedades

Significado geométrico

La largura del producto vectorial, |a × b|, puede ser interpretado como el área del paralelogramo definido por los vectores a y b. Esto significa que el producto mixto (o triple-escalar) resulta en el volumen del paralelepípedo formado por los vectores a , b y c .

Propiedades algebraicas

El producto vectorial es anticomutativo,

a × b = -b × a ,.

distributivo sobre la adición,

a × (b + c) = a × b + a × c,

y compatible con la multiplicación escalar, tal que

(ra )× b = a × (rb) = r(a × b).

No es asociativo, pero satisface la identidad de Jacobi:

a × (b × c) + b × (c × a )+ c × (a × b) = 0

La distributividade, linearidade e identidad de Jacobi muestran que R3 junto con la adición de vectores y el producto vectorial forman una álgebra de Lie.

Además de eso, dos vectores no nulos a y b son paralelos se y solamente se a × b = 0.

Fórmula de Lagrange

Esta es una fórmula útil y bien conocida,

a × (b × c) = b(a · c) − c(a · b),

la cual es más fácil de memorizar como “BAC menos CAB”. Esta fórmula es muy útil para simplificar cálculos con vectores en la física . ES importante notar, sin embargo, que esta fórmula no se aplica cuando del uso del operador nabla.

Un caso especial con respecto a gradiente en cálculo vectorial es:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \begin{matrix} \nabla \equipos (\nabla \equipos \mathbf{f}) &=& \nabla (\nabla \cdot \mathbf{f} ) - (\nabla \cdot \nabla) \mathbf{f} \\ &=& \mbox{grad }(\mbox{div } \mathbf{f} ) - \mbox{laplacian } \mathbf{f}. \end{matrix}

Este es un caso especial de la más general decomposição Hodge Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \Delta = d \partial + \partial d

del Laplaciano Hodge.

Otra identidad útil de Lagrange es

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): |a \equipos b|^2 + |a \cdot b|^2 = |a|^2 |b|^2.

Este es un caso especial de la multiplicatividade Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): |vw| = |v| |w|

de la norma en el álgebra de quaternion .

Notação Matricial

El vector unitario i, j y k para una dado sistema ortogonal de coordenadas satisface las siguientes igualdades:

i × j = k           j × k = i           k × i = j

Con estas reglas, las coordenadas del resultado del producto vectorial de dos vectores pueden ser calculadas fácilmente, sin la necesidad de determinarse cualquier ángulo. Sea:

a = a 1i + a 2j + a 3k = [a 1, a 2, a 3]

y

b = b1i + b2j + b3k = [b1, b2, b3].

Entonces

a × b = [a 2b3 − a 3b2, a 3b1 − a 1b3, a 1b2 − a 2b1].

La notação arriba también puede ser escrita formalmente como el determinante de una matriz:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \mathbf{a \equipos\mathbf}{b}=\det \begin{bmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{bmatrix}


El determinante de tres vectores puede ser recuperado como

det (a , b, c) = a · (b × c).

Intuitivamente, el producto vectorial puede ser descrito por el método de Sarrus , donde

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} & \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 & a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 & b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix}

Para los primeros tres vectores unitarios, multiplique los elementos en la diagonal de la derecha (p.ej. la primera diagonal contendría i, a 2, y b 3). Para los tres últimos vectores unitarios, multiplique los elementos en la diagonal de la izquierda y entonces los multiplique por -1 (p.ej. la última diagonal contendría k, a 2, y b 1). El producto vectorial sería definido por la suma de estos productos:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \mathbf{i}(a_2b_3) + \mathbf{j}(a_3b_1) + \mathbf{k}(a_1b_2) - \mathbf{i}(a_3b_2) - \mathbf{j}(a_1b_3) - \mathbf{k}(a_2b_1)


El producto vectorial también puede ser descrito en términos de quaternions . Note por ejemplo que las relaciones entre productos vectoriales arriba i, j, y k concuerdan con la relación multiplicativa entre los quaternions i, j, y k . En general, se representamos un vector [a 1, a 2, a 3] como el quaternion a 1i + a 2j + a 3k, obtenemos el producto vectorial tomando sus productos y descartando la parte real del resultado (la parte real será el negativo del producto escalar de dos vectores). Más sobre la conexión entre multiplicación de quaternion, operaciones de vectores y geometría puede ser encontrado en quaternions y rotación espacial.

Aplicaciones

El producto vectorial ocurre en la fórmula del operador vectorial rotacional. ES también utilizado para describir la Fuerza de Lorentz experimentada por una carga eléctrica moviéndose en un campo magnético. Las definiciones de torsión y momento angular también envuelven producto vectorial.

El producto vectorial puede también ser utilizado para calcular la normal de un triángulo u otro polígono, lo que es importante en el ramo de la computación gráfica y del desarrollo de juegos electrónicos, para permitir efectos que simulan iluminación, de entre otros.

Dimensiones Mayores

El producto vectorial para vectores 7-dimensionales puede ser obtenido de la misma manera, sin embargo usándose los octônions en vez de los quatérnions.

Ese producto vectorial 7-dimensional tiene las siguientes propiedades en común con el habitual producto vectorial tridimensional:

x × (a y + bz) = a x × y + bx × z
(a y + bz) × x = a y × x + bz × x.
x × y + y × x = 0
x · (x × y) = y · (x × y) = 0
|x × y|2 = |x|2 |y|2 − (x · y)2.

Diferente del producto vectorial tridimensional, no satisface la identidad de Jacobi (la igualdad se mantendría en 3 dimensiones):

x × (y × z) + y × (z × x) + z × (x × y) ≠ 0

Los párrafos a continuación contiene expresiones en cursiva que aún necesitan traducción

Para el caso general (n-dimensional), no hay análogo directo del producto vectorial. Sin embargo existe el wedge product producto exterior (literalmente producto cuña), que posee propiedades semejantes, excepto que el producto exterior de dos vectores pasa a ser uno 2-vector en vez de un vector común. El producto vectorial puede ser interpretado como siendo el producto exterior en tres dimensiones después de usarse la dualidade de Hodge para identificarse 2-vectores con vectores.

El producto exterior y el producto escale pueden ser combinados para formar el producto de Clifford.

Ver también