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Probabilidad

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plantilla para aferir niveles de probabilidad

La palabra probabilidad deriva de Latín probare (probar o probar). Informalmente, probable es una de las muchas palabras utilizadas para eventos inciertos o conocidos, siendo también sustituida por algunas palabras como “suerte”, “riesgo”, “azar”, “incertidumbre”, “duvidoso”, dependiendo del contexto.

Tal como acontece con la teoría de la mecánica, que atribuye definiciones precisas a tener que uso diario, como trabajo y fuerza , también la teoría de las probabilidades intenta cuantificar la noción de probable .

En essência, existe un conjunto de reglas matemáticas para manipular la probabilidad, listado en el tópico "Formalização de la probabilidad" abajo. (Existen otras reglas para cuantificar la incertidumbre, como la teoría de Dempster-Shafer y la lógica difusa (en inglés fuzzy logic), pero estas son, en essência, diferentes e incompatibles con las leyes de la probabilidad tal como son generalmente entendidas). Sin embargo, está en curso un debate sobre lo que es, exactamente, que las reglas se aplican; a este tópico se llama interpretaciones de la probabilidad.

Tabla de contenido

Conceptos de probabilidad

La idea general de la probabilidad es frecuentemente hendida en dos conceptos relacionados:

ES una cuestión abierta si la probabilidad aleatoria es redutível a la probabilidad epistemológica basado en nuestra inabilidade de predecir con precisión cada fuerza que podría afectar el rolar de un dato, o se tales incertidumbres existen en la naturaleza de la propia realidad, particularmente en fenómenos quânticos gobernados por el principio de la incertidumbre de Heisenberg. Aunque las mismas reglas matemáticas se apliquen no importando cual interpretación sea escogida, la elección tiene grandes implicações por el modo en que la probabilidad es usada para modelar el mundo real.

Marcos Históricos

El estudio científico de la probabilidad es un desarrollo moderno. Los juegos de azar muestran que el interés en cuantificar las ideas de la probabilidad ha existido por milenios, pero las descripciones matemáticas de uso en esos problemas sólo aparecieron muy más tarde.

Cardano, en el libro Liber de Ludo Aleae, estudió las probabilidades asociadas al arremesso de datos, concluyendo que la distribución de 2 datos debe ser obtenida de los 36 pares ordenados de resultados, y no sólo de los 21 pares (no-ordenados).[1]

La doctrina de las probabilidades vienen desde la correspondencia entre Pierre de Fermat y Blaise Pascal (1654). Christiaan Huygens (1657) dio el primer tratamiento científico al asunto. El Arte de la Conjetura de Jakob Bernoulli (póstumo, 1713) y la Doctrina de la Probabilidad de Abraham de Moivre (1718) trataron el asunto como un ramo de la matemática.

La teoría de los errores puede ser originada del Opera Miscellanea de Roger Cotices (póstumo, 1722), pero un ensayo preparado por Thomas Simpson en 1755 (impreso en 1756) fue el primero a aplicar la teoría en la discusión de errores de observación. La reimpressão (1757) de ese ensayo establece los axiomas que errores positivos y negativos son igualmente probables, y que hay ciertos límites que se pueden asociar en que puede se supôr que todos los errores van a caer; errores continuos son discutidos y una curva de probabilidad es dada.

Pierre-Simon Laplace (1774) hizo la primera tentativa de deducir una regla para la combinación de observaciones de los principios de la teoría de las probabilidades. Él presentó la ley de la probabilidad de los errores por una curva Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): y = \phi(x) , Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): x

siendo cualquier error y Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): y
su probabilidades, y estableció tres propiedades de esa curva: (1) Ella es simétrica en el eje Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): y
(2) al eje Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): x

, es assintótico; la probabilidad del error cuando Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): x \rightarrow \infty

es 0; (3) el área abajo de la curva de la función es 1, siendo correcto de que un error existe. Él dedujo una fórmula para el significado de las tres observaciones. Él también dio (1781) una fórmula para la ley de la facilidad de errores (un término debido a Lagrange, 1774), pero que llevaba la ecuaciones no gestionabais. Daniel Bernoulli (1778) introdujo el principio del producto máximo de las probabilidades de un sistema de errores concurrentes.

El método de los mínimos cuadrados se debe al matemático alemán Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Gauss describió el método a los dieciocho años (1795), que hoy es indispensable en las más diversas investigaciones. Adrien-Marie Legendre (1805), introdujo contribuciones al método en su Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes. Por ignorar el trabajo de Legendre, un escritor Americano-Irlandés, Robert Adrain, editor de "The Analyst" (1808), primero dedujo la ley de la facilidad del error,

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \phi(x) = ce^{-h^2 x^2}


Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): c

y Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): h
siendo constantes dependiendo de la precisión de la observación. Él dio dos pruebas, siendo la segunda esencialmente la misma de John Herschel (1850). Carl Friedrich Gauß dio la primera prueba que parece ser conocida en la Europa  (la tercera después de a de Adrain) en 1809. Pruebas posteriores fueron dadas por Laplace (1810, 1812), Gauß (1823), James Ivory (1825, 1826), Hagen (1837), Friedrich Bessel (1838), Donkin (1844, 1856), y Morgan Crofton (1870). Otros que contribuyeron fueron Ellis (1844), De Morgan (1864), Glaisher (1872), y Giovanni Schiaparelli (1875). La fórmula de Peters (1856) para Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): r

, el error probable de una observación simple, es bien conocida.

El siglo XIX, los autores de la teoría general incluían Laplace, Sylvestre Lacroix (1816), Littrow (1833), Adolphe Quetelet (1853), Richard Dedekind (1860), Helmert (1872), Hermann Laurent (1873), Liagre, Didion, y Karl Pearson. Augustus De Morgan y George Boole mejoraron la exibição de la teoría.

En el lado geométricos, (vea geometría integral), los contribuidores de la The Educational Equipos fueron influyentes (Miller, Crofton, McColl, Wolstenholme, Watson, y Artemas Martin).

Formalização de la probabilidad

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Datos, símbolos de la probabilidad.

Como otras teorías, la teoría de las probabilidades es una representación de los conceptos probabilísticos en términos formales – eso es, en términos que pueden ser considerados separadamente de sus significados. Esos términos formales son manipulados por las reglas de la matemática y de la lógica, y cualesquier resultados son entonces interpretados o traducidos de vuelta al dominio del problema.

Hube por lo menos dos tentativas con éxito de formalizar la probabilidad, que fueron las formulações de Kolmogorov y a de Cox. En la formulação de Kolmogorov, conjuntos son interpretados como eventos y la probabilidad propiamente dicta como una medida en una clase de conjuntos. En la de Cox, la probabilidad es entendida como una primitiva (es decir, no analizada posteriormente) y la ênfase está en construir una asociación consistente de valores de probabilidad la proposiciones. En ambos casos, las leyes de la probabilidad son las mismas, excepto por detalles técnicos:

  1. una probabilidad es un número entre 0 y 1;
  2. la probabilidad de un evento o proposición y su complemento, si sumados, valen hasta 1; y
  3. la probabilidad condicionada o conjunta de dos eventos o proposiciones es el producto de la probabilidad de uno de ellos y la probabilidad del segundo, condicionado en la primera.

El lector va a encontrar una exposición de la formulação de Kolmogorov en el artículo sobre teoría de las probabilidades, y en el artículo sobre el teorema de Cox la formulação de Cox. Vea también el artículo sobre los axiomas de la probabilidad.

Representación e interpretación de valores de probabilidad

La probabilidad de un evento generalmente es representada como un número real entre 0 y 1. un evento imposible tiene una probabildade de exactamente 0, y un evento correcto de acontecer tiene una probabilidad de 1, pero la recíproca no es siempre verdadera: eventos de probabilidad 0 no son siempre imposibles, ni los de probabilidad 1 correctos. La distinción bastante sutil entre "evento correcto" y "probabilidad 1" es tratado en mayor detalle en el artículo sobre "casi-verdad".

La mayor parte de las probabilidades que ocurren en la práctica son números entre 0 y 1, que indica la posición del evento en el continuo entre impossibilidade y certeza. Mientras más próxima de 1 sea la probabilidad de un evento, más probable es que el evento ocurra. Por ejemplo, si dos eventos sean dichos igualmente probables, como por ejemplo en un juego de cara o cruz, podemos expresar la probabilidad de cada evento - cara o cruz - como "1 en 2", o, de forma equivalente, "50%", o aún "1/2".

Probabilidades también pueden ser expresas como oportunidades (odds). Oportunidad es la razón entre la probabilidad de un evento y a la probabilidad de todos los demás eventos. La oportunidad de obtener cara, al lancemos una moneda, es dada por (1/2)/(1 - 1/2), que es igual a 1/1. Es decir expreso como una "oportunidad de 1 para 1" y es frecuentemente escrito como "1:1". Así, la oportunidad a :b para un correcto evento es equivalente a la probabilidad a /(a +b).

Por ejemplo, la oportunidad 1:1 es equivalente a la probabilidad 1/2 y 3:2 es equivalente a la probabilidad 3/5.

Aún queda la cuestión de la quê exactamente puede ser atribuido una probabilidad, y como los números atribuidos pueden ser usados; es decir una cuestión de interpretaciones de probabilidad.

Hay algunos que alegan que se puede atribuir una probabilidad a cualquier tipo de proposición lógica incierta; esta es la interpretación bayesiana. Hay otros que argumentan que la probabilidad sólo es aplicada apropiadamente la proposiciones que se relacionan con secuencias de experimentos repetidos, o de la amostragem de una población grande; esta es la interpretación frequentista. Hay aún diversas otras interpretaciones que son variaciones de uno o de otro tipo.

Distribuciones

La distribución de la probabilidad es una función que determina probabilidades para eventos o proposiciones. Para cualquier conjunto de eventos o proposiciones existen muchas maneras de determinar probabilidades, de forma que la elección de una u otra distribución es equivalente a crear diferentes hipótesis sobre los eventos o proposiciones en cuestión.

Hay varias formas equivalentes de especificarse una distribución de probabilidad. Tal vez de más común es especificar una función densidad de la probabilidad. De ahí, la probabilidad de un evento o proposición es obtenida por la integración de la función densidad.

La función distribución puede ser también especificada directamente. En una dimensión, la función distribución es llamada de función distribución cumulativa. Las distribuciones de probabilidad también pueden ser especificadas veía momentos o por funciones características, o por otras formas.

Una distribución es llamada de distribución discreta si fuera definida en un conjunto contável y discreto, tal como el subconjunto de los números enteros; o es llamada de distribución continua se tenga una función distribución continua, tal como una función polinómica o exponencial. La mayor parte de las distribuciones de peso práctica son o discretas o continuas, sin embargo hay ejemplos de distribuciones que no son de ninguno de esos tipos.

De entre las distribuciones discretas importantes, se puede citar la distribución uniforme discreta, la distribución de Poisson, la distribución binomial, la distribución binomial negativa y la distribución de Maxwell-Boltzmann. De entre las distribuciones continuas, la distribución normal, la distribución gamma, la distribución t de Student y la distribución exponencial.

Probabilidad en la matemática

Los axiomas de la probabilidad forman la base para la teoría de la probabilidad matemática. El cálculo de probabilidades puede ser frecuentemente determinado por el uso del análisis combinatória o por la aplicación directa de los axiomas. Las aplicaciones de la probabilidad van muy además de la estadística, que es generalmente basada en la idea de distribuciones de probabilidad y del teorema del límite céntrico.

Para dar un significado matemático a la probabilidad, considere un juego de cara o cruz. Intuitivamente, la probabilidad de dar cara, cualquiera que sea la moneda, es "obviamente 50%"; sin embargo, esta afirmación por sí sólo deja a desear en cuanto al rigor matemático - ciertamente, mientras se puede esperar que, al jugar esa moneda 10 veces, tendremos 5 caras y 5 coronas, no hay garantías de que eso ocurrirá; es posible, por ejemplo, conseguir 10 caras sucesivas. Lo que entonces el número "50%" significaría en ese contexto?

Una propuesta es usar la ley de los grandes números. En este caso, asumimos que es exequível hacer cualquier número de arremessos de la moneda, con cada resultado siendo independiente - es decir, el resultado de cada jugada no es afectado por las jugadas anteriores. Si ejecutáramos N jugadas, y sea NH el número de veces que la moneda dio cara, entonces se puede considerar, para cualquier N, la razón NH/N.

Cuando N se haga cada vez mayor, se puede esperar que, en nuestro ejemplo, la razón NH/N llegará cada vez más cerca de 1/2. Esto nos permite "definir" la probabilidad Pr(H) de las caras como el límite matemático, con N tendiendo al infinito, de esta secuencia de quocientes:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \Pr(H) = \lim_{N \te lo \infty}{N_H \over N}


En la práctica, obviamente, no se puede arremessar una moneda una infinidade de veces; por eso, en general, esta fórmula se aplica mejor la situaciones en las cuales ya se ha fijada una probabilidad a priori para un resultado particular (en nuestro caso, nuestra convención es a de que la moneda es una moneda "honesta"). La ley de los grandes números dice que, dato Pr(H) y cualquier número arbitrariamente pequeño ε, existe un número n tal que para toda N > n,

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \left| \Pr(H) - {N_H \over N}\right| < \epsilon


En otras palabras, al decir que "la probabilidad de caras es 1/2", queremos decir que, si jugáramos nuestra moneda tantas veces el bastante, eventualmente el número de caras en relación al número total de jugadas se hará arbitrariamente próximo a 1/2; y permanecerá al menos tan próximo a 1/2 mientras continuarse la arremessar la moneda.

Observe que una definición pertinente requiere la teoría de la medida, que provê medios de cancelar aquellos casos en los cuales el límite superior no da el resultado "correcto", o es indefinido por el hecho de tener una medida cero.

El aspecto a priori de esta propuesta a la probabilidad es algunas veces problemática cuando aplicado la situaciones del mundo real. Por ejemplo, en la pieza Rosencrantz y Guildenstern están muertos, de Tom Stoppard, un personaje arremessa una moneda que siempre da caras, un centenar de veces. Él no puede decidir si es decir sólo un evento aleatorio - además del más, es posible, sin embargo improvable, que una moneda honesta pudiera dar tal resultado - o si la hipótesis de que la moneda es honesta sea falsa.

Notas sobre cálculos de probabilidad

La dificultad en los cálculos de probabilidad se relacionan con determinar el número de eventos posibles, contar las ocurrencias de cada evento, contar el número total de eventos. Lo que es especialmente difícil es llegar la conclusiones que tengan algún significado, a partir de las probabilidades calculadas. Una piada sobre probabilidad, el problema de Monty Hall, demuestra las trampas muy bien.

Aplicaciones de la Teoría de la Probabilidad en el cotidiano

Un efecto mayor de la teoría de la probabilidad en el cotidiano está en la evaluación de riesgos y en el comercio en los mercado de materias-primas. Gobiernos generalmente aplican métodos de probabilidad en la regulación ambiental donde es llamada de "análisis de camino", y están frecuentemente midiendo el bienestar usando métodos que son estocásticos por naturaleza, y escogiendo proyectos con los cuales comprometerse basados en su efecto probable en la población como uno todo, estadísticamente. De hecho, no es correcto decir que estadísticas estén envueltas en el modelado en sí, dado que, normalmente, estimativas de riesgo son únicas (one-equipo) y, por lo tanto, necesitan de plantillas más fundamentales como, por ejemplo, para determinar "la probabilidad de ocurrencia de otro atentado terrorista como lo de 11 de septiembre en Nueva York". Una ley de números pequeños tiende a aplicarse a todas estas situaciones y a la percepção de los efectos relacionados la tales situaciones, lo que hace de medidas de probabilidad una cuestión política.

Un buen ejemplo es el efecto en los precios del petróleo de la probabilidad percibida de cualquier conflicto más abrangente en Oriente Medio - lo que contagia la economía como uno todo. La estimativa hecha por un comerciante de comodidades de que una guerra es más (o menos) probable lleva a un aumento (o disminución) de precios y sinaliza a otros comerciantes aquella opinión. De la misma forma, las probabilidades no son estimadas de forma independiente ni, necesariamente, racional. La teoría de finanza comportamental surgió para describir el efecto de tal pensamiento en grupo (groupthink) en la definición de precios, política, paz y conflicto.

Una aplicación importante de la teoría de las probabilidades el día-a-día es la cuestión de la fiabilidad. En el desarrollo de muchos productos de consumo, tales como automóviles y eletro - electrónicos, la teoría de la fiabilidad es utilizada con el intuito de reducirse la probabilidad de fallo que, por su parte, está estrictamente relacionada a la garantía del producto. Otro buen ejemplo es la aplicación de la teoría de los juegos, una teoría rigurosamente basada en la teoría de las probabilidades, a la Guerra Fría y a la doctrina de destrucción mutua asegurada.

En suma, es razonable pensar que el descubrimiento de métodos rigurosos para estimar y combinar probabilidades ha tenido un impacto profundo en la sociedad moderna. Así, puede ser de extrema importancia para muchos ciudadanos comprender como estimativas de oportunidad y probabilidades son hechas y como ellas contribuyen para reputaciones y decisiones, especialmente en una democracia.

Ver también

Citações

Wikiquote
El Wikiquote tiene una colección de citações de o sobre: Probabilidad.
- "puede ser que la carrera no sea siempre para el rápido ni la batalla para el fuerte - pero es en cuanto se debe apostar."
- "ES notable una ciencia que comenzó con juegos de azar haya se hecho el más importante objeto del conocimiento humano."
- Théorie Analytique des Probabilités, 1812.
- "La extensión ilimitada de la validez de las ciencias exactas era característica del racionalismo exagerado del siglo XVIII." - sobre Laplace).
- Probability, Statistics, and Truth, p 9. Dover edition, 1981 (republicação de la segunda edición en inglés, 1957).

Referencias

  1. ↑ Introduction te lo Probability, por Charles Miller Grinstead y James Laurie Snell

Conexiones externas

Wikilivros
El Wikilivros tiene un libro llamado Probabilidad y Estadística
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