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Parte entera

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Función suelo
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Función tecto

En matemática, las funciones dichas de parte entera (suelo y tecto , en el Brasil techo) convierten números reales en enteros despreciando la parte decimal.[1]

La función suelo de un número real x, denotada Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \lfloor x \rfloor , es una función que retorna el mayor entero más pequeño o igual a x . Formalmente, para todos los reales x,

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \lfloor x \rfloor=\max\, \{n\in\mathbb{Z}\mid n\le x\}.


Por ejemplo, suelo(2.9) = 2, suelo(−2) = −2 y suelo(−2.3) = −3. Para x no negativa, el nombre habitual de la función es parte entera o valor entero de x . La función Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): x -\lfloor x\rfloor , también escrita como x mod 1, o x {}, es llamada parte fraccionária de x .

La semejante función tecto, denotada Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \lceil x \rceil , retorna el menor entero que sea mayor o igual a 'x, o sea,

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \lceil x \rceil=\min\{n\in\mathbb{Z}\mid x\le n\}.


Por ejemplo, tecto(2.3) = 3, tecto(2) = 2 y tecto(−2.3) = −2.

Los nombres suelo y tecto (floor y ceiling ) fueron introducidos por Kenneth Y. Iverson en 1962.[2]

Propiedades de la función suelo

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \lfloor x\rfloor \le x <\lfloor x \rfloor + 1
con igualdad a la izquierda si y sólo si x sea entera.

.

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \lfloor {k+x} \rfloor = k + \lfloor x\rfloor.
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \lfloor x\rfloor = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(2 \pi k x)}{k}.
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \sum_{i=1}^{n-1} \lfloor im / n \rfloor = (m - 1) (n - 1) / 2
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \lfloor \log_{10}(k) \rfloor + 1
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \lceil x \rceil = - \lfloor - x \rfloor
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): x \leq \lceil x \rceil <x + 1
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \lfloor k / 2 \rfloor + \lceil k / 2 \rceil = k

.

Notas

  1. Ronald Graham, Donald Knuth y Oren Patashnik. "Concrete Mathematics". Addison-Wesley, 1999. Cap. 3, "Integer Functions".
  2. Kenneth Y. Iverson. "La Programming Language". Wiley, 1962.