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Par ordenado

par ordenado - Wikilingue - Encydia

Intuitivamente, un par ordenado consiste de dos elementos, digamos a y b, de los cuales uno, digamos a ,es designado como primer elemento y el otro como según elemento. Un par ordenado es designado por Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): (a,b) . Dos pares ordenados Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): (a,b)

y Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): (c,d)
son iguales si, y solamente si, Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): a = c
y Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): b = d


Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): (a, b) = (c, d)

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): (a = c
y Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): b = d)


Ex 1: los pares ordenados Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): (2,3)

y Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): (3,2)
son diferentes.

Ex 2: pares ordenados pueden tener los primeros y segundos elementos idénticos tales como: Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): (1,1), (5,5)

y Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): (7,7)

El conjunto de todos los pares ordenados en los cuales el primer elemento viene de la conjunta X y el segundo del conjunto Y es llamado de Producto cartesiano de X y Y .

Tabla de contenido

Representación gráfica de un Par Ordenado

Podemos representar un par ordenado a través de un punto en un plan, ese punto es llamado de imagen del par ordenado. Los números del par ordenados son llamados coordenadas cartesianas. Denominamos de abscissa lo 1º elemento del par ordenado, y ordenada , lo 2º elemento de ese par. así Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): P(x,y)

denota el punto P con abscissa x y ordenada y. 

Listas ordenadas

Triplas ordenadas y listas ordenadas pueden ser definidos recursivamente a partir de la definición de par ordenado: una tripla ordenada Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): (a,b,c)

puede ser definido como Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): (a , (b,c) )
o como Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): ((a, b), c)
o sea, un par ordenado que contiene otro par ordenado como elemento.

Esta abordagem es adoptada en lenguajes de programación: ES posible representar una lista de elementos como una construcción de pares ordenados anidados. Por ejemplo, la lista (1 2 3 4 5) se hace (1, (2, (3, (4, (5, {}))))).

El lenguaje de programación Lisp usa estas listas como su estructura de datos primaria.

Con base en la definición arriba, tenemos la seguite gramática:

  <parOrd> ::= <tupla2>
  <tupla2> ::= '(' <elem> ',' <elem> ')' 
  <elem>   ::= <término> | <tupla2>
  <término>  ::=  a |  b |…| z |…

Donde tupla2 representa una tupla con dos argumentos, elem los elementos (término o tupla) y término es un elemento terminal.

Pares ordenados en la teoría de los conjuntos

La propiedad característica de los pares ordenados mencionada en sección anterior contiene todo que es necesario para comprender la manera como los pares ordenados son usados en la matemática . Sin embargo, con miras a los fundamentos de la matemática vamos a expresar la definición de cada tipo de objeto matemático en términos de los conjuntos. esta definición, en el caso de los pares ordenados puede ser hecha de varías formas.

la noción de pares ordenados es crucial para la definición de producto cartesiano y relación .

La definición de Wiener

Norbert Wiener propuso la primera definición de pares ordenados en la teoría de los conjuntos en 1914:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): (''x,y'') := {{{''x''},{}}, { { ''y ''} }}.


Él observó que esta definición permitía expresar todos tipos que aparecen en el Principia Mathematica usando sólo conjuntos.

La definición normalizada de Kuratowski

En la teoría axiomática de los conjuntos, el par ordenado Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): (a,b)

es normalmente definido por el par de Kuratowski ( que es bien básico, porque requiere sólo pocos axiomas para poder ser formulado, a saber. (el axioma de la extensión, el axioma de la criba y el axioma del par):

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): (a,b)K := {{''a''}, {''a,b''}}.


La afirmación de que x es el primer elemento de un par ordenado p puede entonces ser formulada como:

(Yp ) ( xY )

y la afirmación que x es el segundo elemento de p puede ser formulada como:

(Yp ) ( xY ) ∧ (∀ Y1p, ∀ Y2p ) ( Y1Y2( xY1xY2 )).

Note que esa definición aún es válida para el par ordenado p = (x,x) = { {x}, {x,x} } = { {x}, {x} } = { {x} }; en este caso la declaración (∀ Y1p, ∀ Y2p : Y1Y2 → (xY1xY2)) es trivialmente verdadera, desde que nunca acontece de que Y1Y2.

Variaciones de la definición

La definición por encima de un par ordenado es “adecuada”, en el sentido de que satisface la propiedad característica que un par ordenado debe tener. (a saber: si Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): (a, b) = (x, y) , entonces Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): a=x

y Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): b=y

), pero también arbitraria, porque hay muchas otras definiciones que no son más complicadas y también serían adecuadas. Ejemplos para otras definiciones posibles incluyen

1. Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): (a, b)

invertido: = Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): {{b, { ''a'', ''b'' } }}


2. Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): (a, b)

corto: = {a , {a , b}} 

3. Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): (a, b)

01: = Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): {{0, ''a''}, {1, ''b''}}


El par “invertido” casi nunca es usado, porque no tiene ninguna ventaja obvia (ni desvantagens) sobre el par usual de Kuratowski. El par “corto” tiene la desvantagem de que la demostración de la propiedad característica del par (ver arriba) es más complicada del que para el par de Kuratowski (el axioma de la regularidad tiene que ser usado); además de eso, una vez el número 2 en la teoría de los conjuntos y a veces definido como el conjunto Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): {0, 1} = {{}, {0}} , esto significaría que 2 es el par (0.0) corto.

Probando la propiedad característica del par de Kuratowski

Probar: Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): (a, b) K = (c, d) K

si y solamente se Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): a=c
y Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): b=d

.

Si a=b: Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): (a, b) K

= {{a ,} {a, a =}}  { {a ,} }y Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): (c, d) K
= {{c}, {c, d}} = { {a .} }Así {c} = {a =}  {c, d}, o Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): c=d=a=b

. Si a≠b, entonces Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): {{a ,} {a, b}} = {{c}, {c, d}} . Si {c, d} = {a ,}entonces c=d=a o Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): {{c}, {c, d}} = {{a ,} {a, a =}} {{a ,} {a =}} { {a .} } Si {c} = {a, b}, entonces a=b=c, que contradice a≠b. Consecuentemente {c} = {a ,}o c=a , y c, {d} = {a, b}. Y si d=a ,entonces {c, d} = {a, a =} {a ≠} {a, b}. Así d=b. Así a=c y b=d . Inversamente, si a=c y b=d , entonces Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): {{a ,} {a, b}} = {{c}, {c, d}} . Así Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): (a, b) K = (c, d) K .

Invertido: (a, b) Invertido = Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): {{b}, {a, b}} = {{b}, {b, a =}} Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): (b, a) K . Si (a, b) invertido = (c, d) invertido, Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): (b, a) K = (d, c) K . Consecuentemente b=d y a=c . Inversamente, si a=c y b=d , entonces Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): {{b}, {a, b}} = {{d}, {c, d}} . Así (a, b) invertido = (c, d) invertido.

La definición de Quine-Rosser

Rosser (1953) usó extensivamente una definición de par ordenado debido a Willard van Orman Quine. La definición de Quine-Rosser requiere una definición previa de los números naturales tal como la siguiente:

Tome Nn como el conjunto de los números naturales, y defina


Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \varphi(x) = \{ z : \exists{y}{\in}{} x : ({y}{\in}{} Nn \and {z}{=}{y}{+}{1}) \or ({y}{\notin}{Nn} \and {z}{=}{y}) \}.


φ(x) cuenten el sucesor de cada número natural en x, junto con todos los números no naturales de x . en particular, φ(x) no cuenten el número 0, de modo que para algunos conjuntos A y B,

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \varphi(A) \not= \{0\} \cup \varphi(B)

.
Definir el par ordenado (A, B) por 0 siendo contiguo con cada elemento del φ(B), formando entonces a la unión del resultado con φ (A):

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): (A,B) = \varphi(A) \cup \{x : \exists y \in\varphi(B) : x = y\cup\{0\} \}


Extrayendo todos los elementos del par que no contienen 0 hemos A .De igual manera, B puede ser recuperado extrayendo todos los elementos del par que contienen 0.

Esta definición de par ordenado tiene una única ventaja. En la teoría de los tipos, y en teorías de los conjuntos tales como New Foundations que surgen a partir de la teoría de los tipos, este par es del mismo tipo que sus proyecciones.

Por lo tanto, una función definida como un conjunto de pares ordenados, tiene un tipo mayor sólo por 1 del que el tipo de sus proyecciones. Para una discusión extensa de pares ordenados en el contexto de las teorías de los conjuntos quineanas o " a la la Quine", ver Holmes (1998).

Definición de Morse

La teoría de los conjuntos de Mose-Kelley, definida por Morse en 1965, hace libre uso de clases propias. Morse definió los pares ordenados de esta manera para permitir su proyección ser tanto clases propias cuánto en los conjuntos (la definición de (Kuratowski no permite eso). Definió de entrada los pares requisitados cuyas las proyecciones son Conjuntos en la manera de Kuratowski juegos en la manera de Kuratowski. Él entonces redefinió el par (x, y) comoFalló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): (x \equipos \{0\}) \cup (y \equipos \{1\})

, donde los componentes de los productos cartesianos son pares de Kuratowski en conjuntos. Esta segunda etapa rinde posibles pares cuyas proyecciones son propias clases. La definición de Rosser en sección anterior admite también las propias clases como proyecciones.

Teoría de las categorías

Producto es la noción de la teoría de las categorías más similar a la de un par ordenado. Mientras un número de objetos puede hacer el papel de pares, ellos son todos equivalentes en cuanto a la sean categóricamente isomórficos.

Referencias