Parábola

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Nota: Para otros significados de Parábola, vea Parábola (desambiguação).

Una parábola

La parábola (del griego: παραβολή) es una sección cónica generada por la intersección de una superficie cónica de segundo grado y un plan paralelo a una línea geradora del cono (llamada de geratriz). Una parábola también puede ser definida como el conjunto de los puntos que son equidistantes de un punto dado (llamado de foco) y de una recta dada (llamada de directriz). ES una curva plana.

Un caso particular surge cuando el plan es tangente a la supérfície cónica. En este caso la intersección es una parábola degenerada, consistiendo de una recta.

Definiciones y visión general

Un gráfico mostrando las propiedad reflexivas,la directriz (en verde), y las líneas conectando el foco y y directriz a la parábola (en azul)

Ecuaciones de la geometría analítica

En coordenadas cartesianas, una parábola con un eje paralelo al eje y con vértice (h, k), foco (h, k + p), y directriz y = k - p, con p siendo la distancia entre el vértice y el foco, posee la ecuación

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): (x - h)^2 = 4p(y - k) \,

o, alternativamente

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): (y - k) = \frac{1}{4p}(x-h)^2 \,

De manera general, una parábola es una curva en el plan cartesiano definida por una ecuación irredutível de la forma :Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): A x^2 + B xy + C y^2 + D x + Y y + F = 0

tal que Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): B^2 = 4 AC , en que todos los coeficientes son reales, en que A y/o C es no nulo, y en la cual más de una solución, definiendo un par de puntos (x, y) en la parábola, existe. El hecho de la ecuación ser irredutível significa que ella no puede ser fatorada como un producto de dos factores lineales.

Otras definiciones geométricas

Archivo:Conicas2.PNG

Parábola como sección cónica.

Una parábola también puede ser caracterizada con una sección cónica con una excentricidad igual a 1. Como una consecuencia de eso, todas las parábolas son similares. Una parábola también puede ser obtenida como el límite de una secuencia de elipses donde un foco es mantenido fijo y el otro puede moverse para una distancia cada vez mayor del foco en una dirección. De esta forma, una parábola puede ser considerada la sección del segmento de una elipse que posee un foco en el infinito. La parábola es la transformada inversa de un cardióide.

Una parábola posee un eje único de simetria reflexiva, el cual pasa a través de su foco y es perpendicular a la directriz. El punto de intersección de este eje con la parábola es llamado de vértice. Si giráramos una parábola a través de su eje en un gráfico de tres dimensiones tenemos una forma conocida como el parabolóide de revolución.

Parábola es una curva generada por todos puntos que se sitúan igualmente distantes de un punto y una recta ( llamados de Foco y Directriz respectivamente ).

Ecuaciones

Parábola con foco (F) y directriz (L)

Cartesiana

Eje vertical de simetria

Estas deducciones se basan en una parábola de eje vertical, con vértice (h, k) y la distancia p entre el vértice y el foco. Por convención, si el vértice esté abajo del foco (equivalentemente, abajo de la directriz) p es positiva, de lo contrario p es negativa.

Como un punto (x, y) en la parábola dista del foco (de coordenadas (h, k + p)) tanto cuánto de la directriz (línea horizontal de ecuación cartesiana y = k - p), podemos escribir:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \sqrt{(x - h)^2 + (y - k - p)^2} = \|y - k + p\|\,

Por lo tanto:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): (x - h)^2 + (y - k - p)^2 = (y - k + p)^2\,

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): (x - h)^2 = (y - k - p)^2 - (y - k + p)^2\,

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): (x - h)^2 = 4 p (y - k)\,

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 4 p (y - k) = (x - h)^2\,

Lo que puede ser reescrito en la forma usual (trinômio del segundo grado):

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): y = ax^2 + bx + c \,

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \mbox{donde }la = \frac{1}{4p}; \ \ b = \frac{-h}{2p}; \ \ c = \frac{h^2}{4p} + k; \ \

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): h = \frac{-b}{2a ;}\ \ k = -\frac{b^2 - 4ac}{4a}

Una ecuación paramétrica (otras parametrizações son posibles; la elección de x(t) fue arbitraria, y y(t) es consecuencia) es:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): x(t) = 2pt + h; \ \ y(t) = pt^2 + k \,

Eje horizontal de simetria

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): (y - k)^2 = 4p(x - h) \,

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): x = a(y - k)^2 + h \,

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): x = ay^2 + by + c \,

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): h = -\frac{b^2 - 4ac}{4a ;}\ \ k = \frac{-b}{2a}

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): x(t) = pt^2 + h; \ \ y(t) = 2pt + k \,

Semi-recta y coordenadas polares

En coordenadas polares, una parábola con el foco en el origen y tope en el eje x negativa es dada por la ecuación

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): r (1 - \cos \theta) = l \,

donde l = 2 p es la distancia del foco a la parábola, medida a través de una línea perpendicular al eje. Note que esta es el doble de la distancia del foco al vertex de la parábola o la distancia perpendicular del foco a la directriz.

Forma en coordenadas gaussianas

La forma en coordenadas gaussianas es dada por: Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): (\tan^2\phi,2\tan\phi)

y posee la normal Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): (\cos\phi,\sin\phi) .

Aplicaciones prácticas

Nuestro día-a-día, las parábolas son utilizadas en diversos equipamientos y sistemas de vital importancia para nuestra sociedad. De entre ellos, podemos destacar:

Antenas parabólicas y Radares

ES común observemos en lo alto de residencias y edificios las Antenas Parabólicas, que captan ondas eletromagnéticas que son enviadas por satélites en órbita alrededor de la tierra. Esto solamente es posible debido a la propiedad de la parábola de reflejar el conjunto de rayos recibidos en un único punto (el foco de la parábola). En este punto se encuentra posicionado el receptor de ondas, que enviará la señal recibida para un conversor que las decodificará y enviará para el receptor de televisión. Los aparatos de radar operan de forma semejante a la antenas parabólicas, recibiendo el eco de pulsos eletromagnéticos.

Faróis de vehículos

Los refletores parabólicos de faróis y lanternas permiten que la luz de la lâmpada localizada en el foco se propague en rayos paralelos al eje de la parábola formando el facho.

Las lentes parabólicas posicionadas en la parte de tras de los faróis de los vehículos permiten que la luz generada por los mismos sea direccionada para un punto específico, el foco de la parábola, que normalmente es apuntado para el suelo, evitando de esta forma que la luz de un coche ofusque la visión de un conductor que venga en dirección opuesta.