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Número primo

número primo - Wikilingue - Encydia

Un número natural es un número primo cuando él tiene exactamente dos divisores: el número uno y él aún.

En los enteros, Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): p \in \mathbb{Z}

es uno primo si él tiene exactamente cuatro divisores: Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \pm 1
y Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \pm p

. Una definición un poco más técnica, que permite generalizar este concepto para otros conjuntos, es decir que el conjunto de los divisores de p que no son inversíveis no es vacío, y todos sus elementos son productos de p por enteros inversíveis. Por definición, Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 0 , Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 1

y Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): -1
no son números primos.

Existen infinitos números primos, como demostrado por Euclides alrededor de 300 a.C..

La propiedad de ser uno primo es llamada "primalidade", y la palabra "primo" también es utilizada como substantivo o adjetivo. Como "dos" es el único número primo par, el término "primo impar" se refiere a todo primo mayor del que dos.

Si un número entero tiene módulo mayor que uno y no es primo, se dice que es compuesto. Por convención, los números 0, 1 y -1 no son considerados primos ni compuestos.

El concepto de número primo es muy importante en la teoría de los números. Uno de los resultados de la teoría de los números es el Teorema Fundamental de la Aritmética, que afirma que cualquier número natural diferente de 1 puede ser escrito de forma única (desconsiderando la orden) como un producto de números primos (llamados factores primos): este proceso se llama decomposição en factores primos (fatoração).

Los 100 primeros números primos positivos son:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547

Ejemplos de decomposições:


Tabla de contenido

Los átomos de la aritmética

Los griegos fueron los primeros a percibir que cualquier número natural, excepto lo 1, puede ser generado por la multiplicación de números primos, los llamados bloques de construcción". La primera persona, hasta donde se sabe, que produjo tablas de números primos fue Eratóstenes, el tercer siglo a.C. Él escribía inicialmente una lista con todos los números de 1 a 1000. Enseguida escogía el primero primo, 2, y eliminaba de la lista todos sus múltiples. Pasaba al número siguiente que no fuera eliminado y procedía también eliminando todos sus múltiples. De esta forma Erastótenes produjo tablas de primos, más tarde este procedimiento pasó a llamarse de crivo de Eratóstenes.

Durante el siglo XVII los matemáticos descubrieron lo que creían ser un método infalível para determinar si un número Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): N

era primo: calcule Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 2
elevado la potencia Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): N
y divídalo por Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): N

, si el resto sea Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 2 , entonces el número será primo. En términos de la calculadora-reloj de Gauss , esos matemáticos estaban intentando calcular Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 2^N

en un reloj con Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): N
horas. En 1819, la prueba de los números primos fue eliminado, pues funciona para todos los números hasta Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 340

, pero fallo para Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 341 = 11 \equipos 31 . Excepción descubierta con una calculadora-reloj de Gauss conteniendo 341 horas utilizada para simplificar el análisis de un número como Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 2^{341} .

Teoremas de los números primos

Se sabe que, a medida que avanzamos en la secuencia de los números enteros, los primos se hacen cada vez más raros. Esto levanta dos cuestiones:

  1. El conjunto de los números primos sería finito o infinito?
  2. Dato un número natural Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): n

, cual es la proporción de números primos entre los números más pequeños que Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): n ?

Suponga, por absurdo, que el número de primos sea finito y sean Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): p_1,\ p_2,\ p_3,\ ...,\ p_n
los primos. Sea Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.):  P 
el número tal que
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): P
= Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \prod_{i=1}^n p_i + 1,
donde Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \prod
denota el produtório.
Si Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): P
es un número primo, es necesariamente diferente de los primos Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.):  p_1,\ p_2,\ p_3,\ ...,\ p_n

, pues su división por cualquier uno de ellos tiene un resto de 1.

Por otro lado, se Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): P
es compuesto, existe un número primo Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.):  q 
tal que Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.):  q 
es divisor de Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.):  P 

.

Pero obviamente Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): q \ne\ p_1,\; p_2,\; ...,\; p_n.
Luego existe un nuevo número primo.
Hay un nuevo número primo, sea Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): P
primo o compuesto; este proceso puede ser repetido indefinidamente, luego hay un número infinito de números primos.
Otra prueba envuelve considerar un número entero Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): n > 1

. Tenemos Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): n + 1

que, necesariamente, es coprimo de Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): n
(números coprimos son los que no tienen ningún factor común mayor del que 1). Provengamos esto imaginando que la división del menor por el mayor tiene resultado 0 y resto Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.):  n 
y del mayor por el menor tiene resultado 1 y resto 1. Así, Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): n (n + 1)
ha, necesariamente, al menos dos factores primos.
Tomemos el sucesor de este, que representamos como Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): n (n + 1) + 1

. Por el mismo raciocínio, él es coprimo a Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): n (n + 1) . Al multiplicar los dos números, tenemos Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): [n (n + 1)] * [n + (n + 1) + 1] . Como uno de sus factores tiene por lo menos dos factores primos diferentes y es coprimo al otro, el resultado de la multiplicación tiene por lo menos tres factores primos distinguidos. Este raciocínio también puede ser infinitamente extendido.

, donde Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \ln

es el logaritmo natural.

.

Grupos y secuencias de números primos

Pierre de Fermat (1601-1665) descubrió que todo número primo de la forma Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 4n + 1 , tal como 5,13,17,29,37,41, etc., es la suma de dos cuadrados. Por ejemplo:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 5 = 1^2 + 2^2,
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 13 = 2^2 + 3^2,
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 17 = 1^2 + 4^2,
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 29 = 2^2 + 5^2,
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 37 = 1^2 + 6^2,
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 41 = 4^2 + 5^2.


Hoy son conocidos dos grupos de números primos:

- que poden siempre ser escritos en la forma (Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): x^2+y^2 );

- nunca pueden ser escritos en la forma (Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): x^2+y^2 ).

Tratándose de números primos es peligroso hacer una generalización sólo con base en una observación, no sólidamente comprobada matemáticamente. Veamos el ejemplo: 31, 331, 3.331, 33.331, 333.331, 3.333.331 y 33.333.331 son primos pero 333.333.331 no es, pues (333.333.331 = 17 x 19.607.843).

Un mirar más atento en la forma como se distribuyen los números primos revela que no hay una regularidad en esta distribución. Por ejemplo existen largos agujeros entre los números primos, el número 370.261 es seguido de once números compuestos y no existen primos entre los números 20.831.323 y 20.831.533. Esa irregularidad en la distribución de los números primos es una de las razones de no existir una fórmula matemática que produzca todos los números primos. Algunas fórmulas producen muchos números primos, por ejemplo Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): x^2 - x + 41

suministra primos cuando Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): x=0,\ 1,\ 2,\ ..., \ 40

. Vea que para x = 41, la fórmula resulta en Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 41^2

que no es primo.

No existe una fórmula que suministre primos para todos los valores primos de Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): x , de hecho en 1.752 Goldbach probó que no hay una expresión polinómica en Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): x

con coeficientes enteros que pueda suministrar primos para todos los valores de Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): x

.

No se sabe se hay una expresión polinómica Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): ax^2+bc+c

con Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): la \ne 0
que represente infinitos números primos. Dirichlet usó métodos para probar que se Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): a

, Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 2b

y Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): c
no tienen factor primo en común, la expresión polinómica a dos variables
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): ax^2 + 2bxy + cy^2

representa infinitos primos, cuando Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): x

y Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): y
asumen valores positivos enteros.

Fermat pensó que la fórmula Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 2^{2^n} + 1

suministraría números primos para Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): n = 0,\ 1,\ 2,\ ...

. Este números son llamados de números de Fermat y son comumente denotados por Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): F_n . Los cinco primeros números son:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): F_0 = 3,\; F_1 = 5,\; F_2 = 17,\; F_3 = 257\; y \;F_4 = 65.537

, siendo todos primos.

Mayor número primo conocido

Actualmente el mayor número primo encontrado es Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 2^{43.112.609}-1

descubierto el día 23 de agosto de 2008 , en un proyecto de computación distribuida por la Internet, el GIMPS, que usa el tiempo ocioso del procesador de ordenadores personales, buscando por números primos específicos, del tipo Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 2^p-1

, en que Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): p

es primo, llamados primos de Mersenne. Este último primo encontrado es lo primo de Mersenne de número 46 y tiene 12.978.189 dígitos.

Aproximaciones para la n-ésimo primo

Como consecuencia del teorema del número primo , una expresión assintótica para la n-ésimo primo pn es:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): p_n \sí n \ln n.


Una aproximación mejor es:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): { p_n = n \ln n + n \ln \ln n - n + \frac{n}{\ln n} \left(\ln \ln n - 2 \right) - \frac{n\ln\ln n}{2(\ln n)^2}\left(\ln\ln n-6\right) + El\left( \frac {n} {(\ln n)^2}\right).}

[1]

El teorema de Rosser muestra que pn es mayor que n ln n. ES posible mejorar esta aproximación con los límites [2][3]:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): n \ln n + n(\ln\ln n - 1) < p_n < n \ln n + n \ln \ln n \quad\mbox{sea } n \ge 6.


Ver también

Referencias

  1. Ernest Cesàro (1894). "Sur une formule empirique de M. Pervouchine". Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences 119: 848–849. (Francés)
  2. Eric Bach, Jeffrey Shallit. Algorithmic Number Theory
  3. Pierre Dusart (1999). "The kth prime is greater than k(ln k + ln ln k-1) sea k>=2". Mathematics of Computation 68: 411–415.

Conexiones externas

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