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Límite superior y límite inferior

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Una ilustración de los límites superior e inferior. La secuencia xn es mostrada en azul.

En matemática, sobre todo en el análisis, el concepto de límite asume fundamental importancia. Ni toda secuenciareal, sin embargo, posee un límite bien definido. El límite superior y el límite inferior, no obstante, están siempre bien definidos.

Cuando una secuencia es convergente, el límite, el límite inferior y el límite superior coinciden. Recíprocamente, una secuencia posee límite cuando el límite inferior coincide con el límite superior.

También se definen límite superior y límite inferior para secuencias de conjuntos .

Notação y definición

Considere una secuencia Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \{a_n\}_{n=1}^{\infty}\,

de números reales cualquiera. Defina la secuencia auxiliar:
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): A_N=\sup_{n\geq N}a_n\,

La secuencia Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): A_n\,

es claramente no-creciente, pues es supremo de una familia cada vez más pequeña de números reales. Por ser una secuencia monótona, su límite existe (pudiendo ser infinito se cada Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): A_N\,
sea infinito) y el ínfimo de la secuencia.

El límite superior de Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \{a_n\}_{n=1}^{\infty}\,

es entonces definido el el límite de la secuencia Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): A_N\,

. Se denota:


Y, de forma perfectamente análoga, se define el límite inferior:


Propiedades

Sed Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \{a_n\}_{n=1}^{\infty}\,

y Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \{b_n\}_{n=1}^{\infty}\,
secuencias de números reales, entonces valen las afirmaciones:



Límite superior e inferior de una secuencia de conjuntos

En algunas situaciones, sobre todo en la teoría de la medida, es conveniente definir los conceptos de límite superior e inferior para una secuencia de conjuntos.

Si Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): Y_n\,

es una secuencia de conjuntos, entonces se define:

.

excepto por úm número finito de ellos.

Se puede monstrar que estas definiciones coinciden con las siguientes:


ES siempre verdad que Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \liminf_{n\te lo\infty} Y_n\subseteq \limsup_{n\te lo\infty} Y_n\, . Cuando estos conjuntos coinciden, decimos que el límite existe:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \lim_{n\te lo\infty} Y_n=\liminf_{n\te lo\infty} Y_n= \limsup_{n\te lo\infty} Y_n\,


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