john von neumann - Wikilingue - Encydia
| John von Neumann | |
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| Nacimiento | 28 de diciembre de 1903. Budapest |
| Muerte | 8 de febrero de 1957 (53 años) Washington, D.C. |
| Campo(s) | Matemática |
| Premio(s) | Premio Bôcher (1938), Premio Enrico Fermi (1956) |
John von Neumann, nacido Margittai Neumann János Lajos (Budapest, 28 de diciembre de 1903 — Washington, D.J.C., 8 de febrero de 1957 ) fue un matemático húngaro de etnia judaica, naturalizado estadunidense.
Contribuyó en la teoría de los conjuntos, análisis funcional, teoría ergódica, mecánica quântica, ciencia de la computación, economía, teoría de los juegos, análisis numérico, hidrodinámica de las explosiones, estadística y muchas otras las áreas de la Matemática. De hecho es considerado uno de los más importantes matemáticos del siglo XX.[1]
Fue miembro del Instituto de Estudios Avanzados en Princeton, NewJersey , del cual también formaban parte Albert Einstein y Erwin Panofsky, cuando emigraron para los Estados Unidos, además de Kurt Gödel, Robert Oppenheimer, George F. Kennan y Hermann Weyl.
Con Edward Teller y Stanislaw Ulam, von Neumann trabajó en desarrollos llave de la Física Nuclear, relacionados con reacciones termonucleares y con la bomba de hidrogênio. Participó también del Proyecto Manhattan, responsable por el desarrollo de las primeras bombas atómicas.
Fue profesor en la Universidad de Princeton y uno de los constructores del ENIAC. Entre los años de 1946 y 1953 , von Neumann integró el grupo reunido bajo el nombre de Macy Conferences, contribuyendo para la consolidación de la teoría cibernética junto con otros científicos renomados: Gregory Bateson, Heinz von Foerster, Kurt Lewin, Margaret Mead, Norbert Wiener, Paul Lazarsfeld, William Ross Ashby, Claude Shannon, Erik Erikson y Max Delbrück, entre otros. Von Neumann falleció poco después, a los 53 años, víctima de un tumor cerebral.
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Vida
Neumann János Lajos (o John von Neumann, tras anglicanizar su nombre) fue un matemático nacido en Budapest, en el imperio Austro-Húngaro, a veintiocho de Diciembre de 1903, en el seno de una rica familia judaica, hijo de Kann Margit (Margaret Kann) y de Neumann Miksa (Max Neumann), un abogado que trabajaba en un banco. Budapest era una capital intelectual en expansión, y se dice que la ciudad “Estaba produciendo casi una de sus más brillantes generaciones de científicas, escritores, artistas, músicos y útiles millonarios expatriados a venir de una pequeña comunidad desde las ciudades-estado de la Renascença Italiana.[2]”
El pequeño Jancsi (diminutivo para János) tuvo una educación elitista y pronto se notó que era un prodigio:
“A los seis años, conseguía intercambiar piadas con el padre en griego clásico. La familia Neumann por veces entretinha sus invitados con demostraciones de la habilidad del Johnny para memorizar agendas telefónicas. Un invitado escogería una página y columna aleatorias de la agenda. El pequeño Johnny leía la columna algunas veces y devolvía la agenda al invitado. Podía entonces responder a cualquier cuestión que le colocaran (quién era el número tal y tal?) o recitar nombres, direcciones y números por orden.[3]”
Conseguía dividir de cabeza algarismos de ocho dígitos, a los ocho años había leído los cuarenta y cuatro volúmenes de la Historia Universal y trivializado el cálculo y a los 12 había leído y entendido el libro Théorie des Fonctions, de Borel. La distinción de von (Margittai, en Húngaro) entra en la familia en 1913, cuando su padre fue recompensado por su servicio al imperio Austro-Húngaro, teniendo Neumann János cambiado su nombre para János von Neumann y posteriormente para el correspondiente alemán Johann von Neumann.
En 1911, con ocho años, entró en el Lutheran Gymnasium, una de las tres mejores instituciones de Budapest en la altura. En 1921 los padres lo mandan para la Universidad de Berlín, para estudiar ingeniería química, y dos años después, va para Zúrich. A pesar de von Neumann haya poco interés en ingeniería química, esta era una carrera popular que garantizaba un buen nivel de vida (al cual von Neumann estaba habituado), un poco debido al éxito de los químicos alemanes entre 1914 y 1918, pelo que su padre el encorajou a la seguís. Estuvo así dos años en Berlín en un programa de química, donde asiste también a un curso de física (que incluía física estadística), dato por Albert Einstein; posteriormente hizo el examen para entrar el segundo año de ingeniería química en el prestigiado Eidgennossische Technische Hochschule (ETH) en Zúrich - en el cual Einstein no había conseguido entrar en una primera tentativa, en 1895, pero sí el año siguiente.
Durante este tiempo de estudio, von Neumann había trazado otro plan que estaba más en consonancia con sus intereses. Entre el fin de sus estudios en Berlín y antes de la ida para Zúrich, entró en la Universidad de Budapest como candidato para un doutoramento en matemática. Su tesis de doutoramento fue una tentativa de axiomatizar la teoría de los conjuntos, desarrollada por Georg Cantante, que era un asunto en voga en la altura, ya habiendo sido estudiado por varios profesores, causando algunos dolores de cabeza a la mayoría. Von Neumann hizo así el curso de ingeniería química en el ETH y, simultáneamente, su doutoramento en matemática en Budapest, habiendo obtenido notas máximas aún en disciplinas a las cuales casi nunca asistía. Tras acabar su tesis, luego después de obtener la licenciatura por el ETH, pasó en los exámenes finales con distinción.
Por esa altura, conoce David Hilbert, un matemático que vendría a tener gran influencia en su trabajo. G. Polya admitió, a propósito de la velocidad de raciocínio de von Neumann, que él era “El único alumno de quien alguna vez tuvo miedo. Si en el transcurrir de una aula hablara de un problema por resolver, el más probable era que él viniera a haber conmigo en el final, con la solución completa escritura en algunos rabiscos en un bocado de papel.[4]”
En 1926 se hizo entonces en el más nuevo Privatdozent en la historia de la Universidad de Berlín, teniendo ahí leccionado hasta 1929, y después en Hamburgo de 1929 a 1930 , altura en que emigró para los Estados Unidos de la América con su madre y hermanos. Por esta altura, von Neumann había alcanzado el estatuto de celebridade, como Poundstone constata en:[3]
“A los veinte y pocos años, la fama de von Neumann se había esparcido mundialmente en la comunidad matemática. En conferencias académicas, él se vería apuntado como un joven genio”.
Una vez en los EUA, cambió Johann para John pero mantuvo el apelido aristocrático austríaco von Neumann, mientras que sus hermanos adoptaron los apelidos Vonneumann y Neumann (usando sólo el título de von para ciertas ceremonias). También por esa altura se convierte al Catolicismo de modo a poder casar con Marriette Kövesi. Tenía una memoria prodigiosa, acordándose de todo cuánto había aprendido, siendo, por ejemplo, un perito en historia Bizantina, y sabiendo detalles del juicio de Joana d’Arc o de batallas de la guerra civil americana. Sobre la lista telefónica de Manhattan, dije una vez que sabía todos los números de allá, pero que para poder dispensar la lista, sólo necesitaba de saber a que nombre es que cada número correspondía. Era profundamente hedonista, me gustaba comer y beber bien, llevaba un estilo de vida extravagante, promoviendo grandes fiestas que terminaban muy tarde: “Fiestas y vida nocturna producían un llamamiento especial para von Neumann. Mientras enseñaba en la Alemania, von Neumann había sido un habitué del circuito de vida noctura de Berlín en la era del Cabaret.[3]"
“Las fiestas en casa de von Neumann eran frecuentes, famosas, y largas.[4]"
Conducía de manera peligrosa (a leer un libro, por ejemplo) lo que frecuentemente resultaba en accidente. Cierto día relató el accidente de la siguiente manera: “Los árboles a la derecha estaban pasando por mí de una manera ordenada, a 60 millas por hora. De repente, una de ellas se atravesó en mi camino!”
Tampoco se inibia de contar piadas insensíveis ni de mirar persistentemente para las piernas de mujeres jóvenes, teniendo las secretarias en Los Alamos llegado al punto de tapar los lados de sus mesas con cartolinas.
Aún en 1930, von Neumann fue invitado para Princeton y en 1933 fue, juntamente con Albert Einstein, Kurt Gödel, J.W. Alexander, M. Morse, Lo. Veblen y H. Weyl, seleccionado para la primera facultad de matemática del Institute sea Advanced Study, donde fue profesor hasta a la fecha de su muerte, habiéndose-les juntado otros notables científicos y matemáticos como Enrico Fermi y Wigner.
Como Ulam constata, la enseñanza no era su punto fuerte: “Su línea de raciocínio fluida era difícil de seguir para aquellos menos dotados. Él se destacaba por escrevinhar ecuaciones en un pequeño espacio libre del cuadro y por borrar expresiones antes que los alumnos las pudieran copiar.[3]" A pesar de esto, le era fácil explicar ideas complejas: “Para un hombre para quién matemáticas complicadas no presentaban dificultad, él podía explicar sus conclusiones a los no-iniciados con lucidez sorprendente. Tras una conversación con él, una persona tenía siempre la sensación que el problema era simple y transparente.[5]”
En 1937 se divorció de Marriette Kövesi, para, el año siguiente, casarse con Klara Dan. Esta, sobre sus hábitos de trabajo dije que “él escribía siempre en casa, durante la noche o al amanecer. Su capacidad de trabajo era prácticamente ilimitada.” Según Halmos en [1], von Neumann era un trabajador incansável, llegando pronto a su gabinete, saliendo tarde y nunca perdiendo tiempo. Era también muy sistemático y meticuloso. Por ejemplo, al leer un manuscrito, él anotaría en la primera página los números de las páginas en que hube encontrado errores, y después el número de errores de cada página. Aún sobre el método de trabajo de von Neumann, Halmos destaca el coraje matemático: “…mientras que algunos matemáticos, si en la busca de uno contra-ejemplo encontraran una serie infinita con muchas exponenciais de exponentes cuadráticos, preferirían recomenzar y buscar otro contra-ejemplo, von Neumann diría “ah, sí… una función teta…” y bucearía en las cuentas. No tenía miedo de nada.[4]"
En 1956 le fue diagnosticado cáncer óseo o pancreático, posiblemente contraído debido a exposición a la radioactividade mientras observaba las pruebas de la bomba atómica en el Océano Pacífico o en un trabajo posterior sobre armas nucleares en Los Alamos. El cáncer evolucionó para el cerebro, impidiendo cualquier actividad mental.
“Cuando von Neumann percibió que estaba incurablemente enfermo, su lógica lo forzó a percibir que iba a cesar de existir, y así pues, de tener pensamientos… Destrozaba el corazón ver la frustração de su mente, cuando toda la esperanza se fue, en su lucha contra el destino que parecía ser inevitable pero inaceptable. El sentido de invulnerabilidade de von Neumann, o simplemente el deseo de vivir, estaba debatiéndose contra hechos inalteráveis. Él parecía tener un gran miedo de la muerte hasta al fin… Ningún éxito y ninguna cantidad de influencia lo podían salvar ahora, como siempre habían hecho en el pasado. Johnny von Neumann, que había sabido como vivir intensamente, no sabía como morir.[4]
“… su mente, el amuleto en el cual siempre había podido confiar, se estaba a hacer menos confiante. Entonces vino la quiebra psicológica completa; pánico, gritos de terror incontrolável todas las noches. Su amigo Edward Teller dije, “Creo que von Neumann sufrió más cuando su mente dejó de funcionar del que alguna vez vi un ser humano sufrir.[6]”
Murió bajo seguridad militar (una manera de impedir que revelara cualesquier secretos milites mientras estaba fuertemente medicado), a 8 de Febrero de 1957.
Lógica
En el inicio del siglo XX, la teoría de los conjuntos aún no había sido formalizada y estaba en crisis debido a la paradoja de Bertrand Russell, y la axiomatização de la matemática, sobre la plantilla de los Elementos de Euclides, estaba alcanzando nuevos niveles de rigor, particularmente en la aritmética y en la geometría. Ernst Zermelo y Abraham Fraenkel resolvieron parcialmente este problema, formulando principios que permitían la construcción de todos los conjuntos usados en la matemática, pero no excluían la posibilidad de existir conjuntos que pertenecieran a ellos mismos.
En su tesis de doutoramento, presentada en 1925, von Neumann demostró como era posible excluir esta posibilidad de dos maneras complementarias: la noción de clase y el axioma de la fundación (uno de los axiomas de la teoría de los conjuntos de Zermelo-Frankel ).
Una aproximación al problema fue por el uso de la noción de clase: se define como conjunto una clase que pertenece a otras clases, mientras que una clase propia es una clase que no pertenece a otra clase. En consonancia con los axiomas de la teoría de Zermelo-Frankel, no es posible la construcción de un conjunto que contenga todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos. Por el contrario, usando la noción de clase, la clase de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos puede ser construida, no siendo, sin embargo, un conjunto, pero sí una clase propia.
La otra aproximación al problema es conseguida por el axioma de la fundación, que dice que todo el conjunto puede ser construido a partir de la base, en una sucesión ordenada de pasos, de tal modo que si una conjunta pertenencia a otro, entonces el primero tiene necesariamente de venir antes del segundo en la sucesión (lo que excluye la posibilidad de un conjunto pertenecer a sí aún). Para demostrar que este axioma no estaba en contradicción con los otros, von Neumann creó un nuevo método de demostración que se hizo en una herramienta fundamental en la teoría de los conjuntos, el método de las plantillas interiores.
Aplicaciones de estas ideas de von Neumann pueden ser vistas en la definición del Universo de von Neumann (una clase V de todos los conjuntos, que es la unión de conjuntos Vx, en que x recorre todos los números ordinais) y en la definición de número ordinal, como un conjunto que satisface determinadas propiedades bien simples.
De esta manera, el sistema axiomático de la teoría de los conjuntos se hizo completamente satisfactorio, y la pregunta que pairava era si esta axiomática era o no definitiva, y se estaba o no sujeta la mejoría. La respuesta a esta cuestión surgió en Septiembre de 1930, en el Congreso de Matemática de Köningsberg, en el cual Gödel anunció su primero teorema de la incompletude (los sistemas axiomáticos usuales son incompletos, una vez que no pueden probar todas las verdades que sean expresas en su lenguaje). Menos de un mes después, von Neumann informó Gödel de una consecuencia de su teorema: los sistemas axiomáticos usuales son incapaces de demostrar su propia consistencia. Pero, Gödel ya lo había concluido de modo independiente, pelo que este resultado es el llamado según teorema de Gödel, sin referencia a von Neumann.
Von Neumann tenía una gran admiración por Gödel, y era frecuente elogiarlo de manera entusiástica: “El hecho de Kurt Gödel en la lógica moderna es singular y monumental – en la verdad es más del que un monumento, es un marco que se mantendrá visible lejos en el espacio y el tiempo. […] El tema de la lógica tiene ciertamente cambiado por completo su naturaleza y posibilidades con el hecho de Gödel .[7]” Y cuando le preguntaron porque no se refería al trabajo de Ramsey , que sería conocido para alguien que se interesara por el campo de la lógica, respondió que tras Gödel haber publicado sus artículos sobre la indecidibilidade e incompletude de la lógica, no había leído más ningún artículo sobre lógica simbólica. Noutra altura, en una entrevista intitulada “The Mathematician”, dije, acerca del trabajo de Gödel :
“Esto aconteció durante nuestra vida, y yo sé como mis valores sobre la verdad matemática absoluta cambiaron, de manera humilhantemente fácil, durante este acontecimiento, y como ellos cambiaron tres veces en sucesión!”
Debido a este fascínio por Gödel y por su trabajo, afigura-si bastante natural que haya escogido la lógica para tesis de doutoramento. Tal como Ulam dice:
“En su trabajo de juventud, estaba preocupado no sólo con la lógica matemática y la axiomatização de la teoría de los conjuntos, pero, simultáneamente, con la substancia de la teoría de los conjuntos, obteniendo resultados en la teoría de la medida y en la teoría de las variables reales.[8]”
Mecánica quântica
La mecánica quântica trata de la naturaleza de las partículas atómicas y de las leyes que rigen sus acciones. Varias teorías de la mecánica quântica comenzaron a aparecer para justificar las discrepancias observadas cuando se usaba sólo la física Newtoniana para describir las observaciones de las partículas atómicas.
Una de estas observaciones dice respeto a la largura de onda de la luz que los átomos pueden absorber y emitir. Por ejemplo, los átomos de hidrogénio absorben energía para larguras de onda de 656.3 nm, 486.1 nm, 434 nm o 410.2 nm, pero no para larguras de onda intermédios. Esto contrariaba los principios de la física del fin del siglo XIX, según los cuales un electrão que orbita un núcleo en un átomo debe irradiar en todas las larguras de onda de luz, perdiendo energía y rápidamente cayendo en el núcleo. Como tal hecho no fue observado, Max Planck introdujo una nueva teoría que decía que la energía sólo podía ser emitida en cantidades definidas. Esto llevó a dos teorías descriptivas de la naturaleza del átomo (este sólo podría emitir y absorber energía en cuánta específicos), que competían entre sí.
Una de ellas, desarrollada por Erwin Schrödinger sugería que el electrão en el hidrogénio es semejante a una corda en un instrumento musical. Tal como una corda, que emite un tono específico juntamente con harmónicas, así un electrão debería tener un correcto “tono” en el cual emitiría energía. Usando esta teoría, Schrödinger desarrolló una ecuación de onda que predecía correctamente las larguras de onda en los cuales el hidrogénio emitiría.
La otra teoría fue desarrollada por físicos en Göttingen, incluyendo Werner Heisenberg, Max Born y Pascual Jordan, se centraba en la posición y momento de un electrão en un átomo. Ellos decían que estos valores no eran directamente observabais (sólo la luz emitida por el átomo podía ser observada) y así podían comportarse de manera muy diferente del movimiento de una partícula en la física Newtoniana. Teorizavam que los valores de la posición y momento debían ser descritos por construcciones matemáticas que no los números usuales.
A finales de la década de 20, rápidamente se descubrió que estas dos aproximaciones, aparentemente muy diferentes, no eran más del que dos formulações del mismo principio.
En 1900, en el Congreso Internacional de Matemáticos, David Hilbert había presentado su famosa lista de 23 problemas que consideraba fulcrais para el desarrollo de la matemática el siglo XX. El sexto problema era la axiomatização de teorías físicas. A finales de la década de 20, la única área de la física que aún no había sido axiomatizada era la mecánica quântica, que se encontraba en una situación semejante a la de la teoría de los conjuntos en el inicio del siglo XX, enfrentando problemas si orden filosófica y técnica: si por un lado su aparente no-determinismo aún no había sido explicado de manera determinística, por otro existían las dos teorías heurísticas independientes referidas arriba (la matrix mechanical de Heisenberg y wave mechanical de Schrödinger) pero no había una formulação teórica unificada que fuera satisfactoria.
Von Neumann quería descubrir lo que estas dos teorías tenían en común, y a través de una aproximación matemática más rigurosa, quería encontrar una nueva teoría más poderosa y fundamental que las otras dos.
Así, tras terminar la axiomatização de la teoría de los conjuntos, von Neumann se dedicó a la axiomatização de la mecánica quântica. En 1926, percibió que un sistema podía ser considerado un punto en un espacio hilberteano, análogo a la dimensión 6N del espacio de fase de la mecánica clásica (N es el número de partículas, con 3 coordenadas generales y 3 momentos canónicos para cada), pero con infinitas dimensiones, correspondientes a los infinitos estados posibles del sistema. La física tradicional podía así ser representada por operadores lineales en estos espacios, y la física de la mecánica quântica fue reducida la matemática de operadores hermiteanos en espacios de Hilbert .
Tomemos como ejemplo el principio de incertidumbre de Heisenberg . En consonancia con él, la determinación de la posición de una partícula impide la determinación de su momento y viceversa. Bajo la aproximación matemática propuesta por von Neumann, que culminó en la publicación en 1932 de The Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, esta situación es traducida en la no-comutatividade de dos operadores correspondientes e incluye los casos especiales de las formulações de Heisenberg y Schrödinger . En ese libro está demostrado un teorema según el cual la mecánica quântica no puede ser deducida a partir de una teoría determinística como era usual en la mecánica clásica. A pesar de tal demostración contener un error conceptual, sirvió para lanzar una nueva línea de investigación que llevó a la demostración de que la física quântica requiere una noción de la realidad substancialmente diferente de la física clásica. En un trabajo complemente juntamente con Garrett Birkhoff, von Neumann probó también que más allá de una noción de realidad diferente, la mecánica quântica precisa también de una lógica diferente de la clásica, la lógica quântica, que es generalmente presentada como una versión modificada de la lógica proposicional.
Un ejemplo de eso es el caso de los fotões que atraviesan filtros. Un fotão no puede pasar a través de dos filtros consecutivos que estén polarizados perpendicularmente, y, consecuentemente, si añadirse un otro filtro (antes o después) polarizado diagonalmente, el fotão no lo atravesará. Sin embargo, si el filtro sea añadido entre los otros dos, el fotão pasará. También fue demostrado que las leyes distributivas de la lógica clásica, Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): P \vee (Q \wedge R)=(P \vee Q) \wedge (P \vee R)
y Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): P \wedge (Q \vee R)=(P \wedge Q) \vee (P \wedge R)
, no son válidas para la mecánica quântica, pues, la disjunção quântica, al contrario de la disjunção clásica, puede ser verdadera aún cuando los dos elementos son falsos, y esto, por su parte, se debe al hecho de frecuentemente un par de alternativas ser determinado semânticamente, mientras que cada uno de los elementos (en la mecánica quântica, posición o momento de una partícula) es necesariamente indeterminado.
Para percibirse mejor esta última propiedad se presentan dos ejemplos, siendo lo primero substancialmente más simples.
Sea X una partícula que se mueve en línea recta, p la afirmación “X está moviéndose para la derecha”, q la afirmación “X está para la izquierda del origen” y r la afirmación “X está para la derecha del origen”. Sabemos que Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): q \vee r
es verdadera, pelo que Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): p \wedge (q \vee r) también es verdadera. Por otro lado, en consonancia con ciertas interpretaciones del principio de incertidumbre, quiere Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): p \wedge q quiere Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): p \wedge r son falsas. Entonces, Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): (p \wedge q) \vee (p \wedge r) es falsa. Falla así la ley distributiva.
Supóngase, en otra situación, que se está la lidar con partículas de momento angular semi-integral, como los electrões, para los cuales hay sólo dos valores posibles: positivo o negativo. Entonces, el principio de indeterminação dice que el spin en lo que respecta a dos direcciones distinguidas resulta en un par de cantidades incompatibles. Supóngase que el estado Φ de un dato electrão verifica la proposición “El spin en la dirección x es positiva” (A). Por el principio de indeterminação, el valor del spin en la dirección y será totalmente indeterminado para Φ, visto que la dirección según x del spin está determinada. Así siendo, Φ no puede verificar la proposición “El spin en la dirección y es positivo” (B) ni “El spin en la dirección y es negativo” (C), pues no se sabe cual de estas es válida. Sin embargo, la disjunção de las proposiciones “El spin en la dirección y es positivo o el spin en la dirección y es negativo” (Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): B \vee C ) tiene que ser verdadera para Φ, una vez que existe spin en esa dirección.
A propósito de la contribución de von Neumann para la mecánica quântica, van Hove escribe en:[9] “La mecánica quântica fue, de hecho, mucho afortunada por atraer, los primeros años después de su descubrimiento en 1925, el interés de un genio matemática de la estatura de von Neumann. Como resultado, el enquadramento matemático de la teoría fue desarrollado y los aspectos formales de sus completamente nuevas reglas de interpretación fueron analizadas una a una por sólo un hombre en dos años (1927-1929)”
John von Neumann formalizó el proyecto lógico de un ordenador. En su propuesta, von Neumann sugirió que las instrucciones fueran almacenadas en la memoria del ordenador. Hasta entonces ellas eran leídas de tarjetas perforadas y ejecutadas, una a una. Almacenarlas en la memoria, para entonces ejecutarlas, haría el ordenador más rápido, ya que, en el momento de la ejecución, las instrucciones serían obtenidas con rapidez electrónica, una vez que las tarjetas perforadas ya estarían insertados en la máquina(ordenador). La mayoría de los ordenadores de hoy día sigue aún la plantilla propuesta por von Neumann. Esa plantilla define un ordenador seqüencial digital en que el procesamiento de las informaciones es hecho paso a paso, caracterizando un comportamiento determinístico (o sea, los mismos datos de entrada producen siempre la misma respuesta).
Armamento
Entre sus muchos intereses, von Neumann me gustaba matemática aplicada y desarrolló un particular interés por explosivos. Tal interés lo llevó a ser consultado varias veces en asuntos militares, principalmente para la marina. En 1943 el gobierno de los Estados Unidos continuaba a reclutar genios, para producir lo que muchos veían como un mal necesario (independientemente de las convicciones más o menos pacifistas y del respeto que la vida humana pudiera merecer, había, en la altura, una grande amenaza a esos mismos valores - nazismo - que era necesario combatir, y, si posible, irradicar. De ahí la colaboración de tantos cerebros en programas de armamento, incluyendo lo de la bomba atómica). Como tal, von Neumann fue contratado. Sus dos mayores contribuciones fueron la matematização del desarrollo del proyecto y la ayuda en el desarrollo de la bomba de implosão. Los científicos que trabajaban en Los Alamos estaban habituados a hacer experiencias científicas, pero no se pueden hacer muchas experiencias cuando se desarrollan armas de destrucción masiva. Necesitaban, por lo tanto, de una manera de predecir lo que iba a acontecer en aquellas reacciones sin realizarlas. Von Neumann hizo entonces parte del equipo que inventó la modelação matemática moderna, y aplicó sus capacidades en todos los niveles, quiere a ayudar los oficiales superiores a tomar decisiones lógicas quiere a resolver los cálculos complicados de los escalões más bajos.
Las bombas atómicas lanzadas eran de dos tipos distinguidos: una usaba uranio-235 como material de fissão , la otra, el plutonio. Una reacción en cadena atómica ocurre cuando el material de fissão presente en la bomba alcanza la masa o densidad críticas. En la bomba de uranio-235, una gran masa de uranio-235, aún abajo de la masa crítica, sería bombardeada con otra masa de uranio-235. La combinación de las masas llegaría a la masa crítica, donde una fissão nuclear descontrolada ocurriría. Se sabía que este proceso funcionaba y el procedimiento era relativamente simple, siendo la parte más difícil la obtención del uranio-235, que tenía que ser separado de otros isótopos de uranio, químicamente semejantes. Por su lado, el plutonio puede ser separado usando medios químicos, pelo que la producción de bombas basadas en plutonio progresó más rápidamente. Pero, el plutonio no podía alcanzar la masa crítica de la misma manera, tenía que ser a través de la implosão. En este método, una masa de plutonio es totalmente cercada por explosivos potentes que son detonados simultáneamente, haciendo con que la masa sea comprimida hasta niveles supercríticos y expluda.
Ejemplos de bombas de plutonio son Trinity Test Device (detonada como prueba a 16 de Julio de 1945, cerca de Alamogordo ) o la Fat Man, lanzada sobre Nagasaki a 9 de Agosto del mismo año. Una bomba de uranio es la Little Boy, lanzada a 6 de Agosto sobre Hiroshima.
Una de sus descubrimientos en este campo fue que bombas grandes son más devastadoras cuando detonadas por encima del suelo, debido a la fuerza de las ondas de choque. Buenos ejemplos de este descubrimiento fueron las bombas detonadas sobre Hiroshima y Nagasaki , a la altitud que von Neumann calculó que produciría el mayor daño. Después de la guerra, Robert Oppenheimer hizo notar que los físicos envueltos en el Proyecto Manhattan habían “conocido el pecado”, al que von Neumann respondió que “a veces una persona confiesa un pecado de modo a obtener algún crédito por él”. Puesto esto, von Neumann continuó imperturbável su trabajo y fue, juntamente con Edward Teller, uno de los apoiantes del proyecto sobre la bomba de hidrogénio. Colaboró también con el espía Klaus Fuchs y juntos desarrollaron una patente secreta sobre Improvement in Methods and Means sea Utilizing Nuclear Energy la cual delineava un esquema para usar una bomba de fissão para comprimir combustible de fusión que por su parte iniciaría una reacción termonuclear. A pesar de no ser la llave para la bomba de hidrogénio, se pensaba que sería un paso en la dirección correcta.
Computación
John von Neumann propuso que las instrucciones, faenas en la época por tarjetas perforadas, fueran grabadas en la memoria del ordenador; lo que haría su ejecución y lectura más rápidas, una vez que se daban electrónicamente.
Neumann contribuyó para la construcción de los ordenadores de forma grandiosa, pues, aún hoy la mayoría de estas máquinas siguen la plantilla inventada por el mismo.
“A mediados de la década de 30, Johnny estaba fascinado por el problema de la turbulencia hidrodinámica. Fue entonces que tomó conciencia de los misterios subyacentes al tema de las ecuaciones diferenciales parciales no lineales. Su trabajo, desde el inicio de la Segunda Guerra Mundial, foca el estudio de las ecuaciones de la hidrodinámica y de la teoría de los choques. Los fenómenos descritos por estas ecuaciones no lineales son analíticamente extraños y desafían aún la visión qualitativa de los métodos presentes. El trabajo numérico le parecía el camino más promissor para obtener una idea del comportamiento de estos sistemas. Esto impeliu-lo a estudiar las nuevas posibilidades de la computación en máquinas electrónicas.[2]"
El proyecto de la bomba de hidrogénio tuvo, por lo tanto, una gran importancia en el desarrollo de la computación, una vez que von Neumann y Stanislaw Ulam desarrollaron simulaciones en el ordenador digital de von Neumann, usado para computaciones hidrodinámicas. Durante ese periodo, contribuyó para el desarrollo del método de Monte Carlo, que permitía la aproximación de problemas complejos a través de números aleatorios. Una vez que usar listas de números aleatorios verdaderos hacía el ENIAC extremadamente lento, von Neumann desarrolló una manera de crear números pseudo-aleatorios, usando el middle square method (en la verdad, este no es un método muy eficaz, pues su periodo es muy corto y tiene defectos graves. Von Neumann estaba consciente de estos defectos del método, pero para sus objetivos el método era rápido y sus errores fáciles de detectar.) Inmediatamente después de von Neumann haya se interesado por el ENIAC, la escuela Moore solicitó y recibió un contrato para el desarrollo de un ordenador más potente, denominado EDVAC[10]. Mientras era consultor de la Moore School of Electrical Engineering sobre el EDVAC (Electronic Discrete Variable Automatic Calculator), uno de los primeros ordenadores electrónicos binarios y sucesor del ENIAC, von Neumann escribió un artículo intitulado First Draft of a Report on the EDVAC, en el cual proponía un ordenador compuesto por una estructura simple pero fija con uno controlo programado, que sería capaz de ejecutar cualquier mando sin haber necesidad de alterarse el hardware (su idea era la técnica del programa-guardado).
El informe sobre el EDVAC se hizo uno de los primeros documentos a describir la disposición interna y los principios de funcionamiento de los ordenadores modernos. Al firmar tal informe con su nombre de matemático prestigiado, von Neumann le confirió una audiencia y una legitimidad inesperadas, muy útiles para obtener los créditos militares, pero, a la vez, atribuyó a sí mismo toda la gloria de la invención del ordenador. Aunque haya sido uno personaje importante en la historia de la computación, la atribución de ese mérito a von Neumann ignora el trabajo de sus colaboradores, contemporáneos y hasta predecesores, que igualmente trabajaron en el desarrollo del ordenador.[11]”
Sugería la existencia de una instrucción máquina, llamada conditional control transfer, que permitía la interrupción y reinício del programa en cualquier punto de la computación. Sugería igualmente guardar programas en la misma unidad de memoria que los datos, lo que permitiría que las instrucciones fueran aritméticamente modificadas de igual manera que los datos. Una unidad céntrica de procesamiento, compuesta por la unidad de controlo y por una o más unidades de ejecución, extraería quiere datos quiere instrucciones de la memoria, operando sobre ellas y devolviéndolas de nuevo a la memoria. El resultado era muy más rápido, la programación y computación más eficientes, pues permitían que las instrucciones fueran escritas como sub-rutinas que no requerían una nueva programación para cada nuevo problema (las rutinas más largas podían ser alteradas por partes, siendo los resultados intermédios guardados en la memoria y siendo usados para el resultado final).
Quiere la implementación de las componentes físicas independientes, quiere las interacciones entre elementos, han variado al largo del tiempo, dependiendo de las tecnologías de fabrico, pero su arquitectura se mantiene. Tal arquitectura de memoria única se hizo conocida como arquitectura de von Neumann, a pesar de su concepción haber envuelto J. Presper Eckert o John William Mauchly, inventores del ENIAC, y es utilizada en casi todos los minicomputadores, microcomputadores y ordenadores domésticos. Más allá de la creación de una nueva arquitectura de ordenadores, von Neumann también creó los autómatos celulares sin la ayuda de ordenadores: los años 1940, estudiaba sistemas auto-replicativos y enfrentaba algunas dificultades en explicitar la plantilla inicial de un robot que fuera capaz de copiarse solo a partir de un conjunto de piezas separadas. Stanislaw Ulam, compañero de von Neumann que en la altura modelaba el crecimiento de cristales usando una parrilla, le sugirió que se inspirara en sus trabajos para ultrapasar el problema. Basándose en una parrilla bidimensional en la cual cada célula podía estar en un de 29 estados distinguidos, von Neumann creó una plantilla matemática abstracto para su problema, un “copiador y constructor universal”, que se hizo en el primero autómato celular auto-replicante. Una vez más se comprueba que von Neumann iba inventando la matemática a la medida de sus necesidades y da crédito al que decían sobre él: “Matemáticos en general, prueban lo que son capaces de probar. Von Neumann prueba lo que quiere.”
Aplicando este descubrimiento a su me gusta por explosivos, von Neumann probó que la manera más eficaz de realizar operaciones mineras como minar una luna entera o una cintura de asteroides sería usar máquinas auto-replicativas, aprovechando su crecimiento exponencial.
Von Neumann fue uno de los pioneros de la computación, habiendo hecho grandes contribuciones para el desarrollo del design lógico, que Shannon resume del siguiente modo:
“Von Neumann pasó parte considerable de sus últimos años de vida a trabajar en la teoría de los autómatos. Representaba para él una síntesis de su interés inicial en lógica y teoría de las demostraciones, y de su posterior trabajo, durante y después de la Segunda Guerra Mundial, en ordenadores electrónicos en ancha escala. Envolviendo una mezcla de matemática pura y aplicada así como otras ciencias, la teoría de los autómatos era un campo ideal para el intelecto abrangente de von Neumann. Él le traje varias perspectivas nuevas y abrió por lo menos dos nuevas direcciones de investigación.[12]”
Aún en el campo de la ciencia de la computación, Donald Knuth cita von Neumann como el inventor del algoritmo Mergesort, en 1945, cuyo objetivo es crear una secuencia ordenada a partir de otras dos ya ordenadas. Para tal, se divide la secuencia original en pares de datos, y se ordena. Después, se agrupa en secuencias de cuatro elementos, y así por delante hasta la secuencia original estar separada en sólo dos partes. Este es un ejemplo de algoritmo de ordenação del tipo “dividir-para-conquistar”, cuyos pasos del algoritmo son: 1- La secuencia a ordenar es dividida en dos; 2- Conquistar: cada una de las mitades es ordenada independientemente; 3- Combinar: las dos mitades son juntas en una secuencia ordenada. Su algoritmo para simular una moneda equilibrada usando una moneda viciada es usado en la etapa de Software Whitening de algunos generadores de números aleatorios.
También se aventuró en la resolución de problemas en la hidrodinámica numérica y con R.D. Richtmyer desarrolló un algoritmo sobre viscosidad artificial que contribuyó para la compreensão de las ondas de choque. Sin ese trabajo, probablemente no comprenderíamos mucha de la astrofísica actual y no habríamos desarrollado los motores de jacto y de cohete . La viscosidad artificial fue un truco matemático usado para atenuar ligeramente la transición de choque, una vez que los ordenadores, al resuelvan problemas de hidrodinámica o aerodinâmica , tienen tendencia para por demasiados puntos en la parrilla en regiones de discontinuidad acentuada (ondas de choque).
Teoría de juegos
La teoría de los juegos es un ramo de la matemática que estudia situaciones de conflicto de diversos tipos (sociales, económicos, políticos, militares, éticos, filosóficos, periodísticos, etc) en consonancia con una plantilla escogida, cuyas reglas son más o menos rígidas, y más o menos conocidas por los jugadores. Así, estos escogen diferentes acciones para intentar mejorar el suyo retorno. Von Neumann tenía una “impresionante conciencia de los resultados obtenidos por otros matemáticos y las posibilidades inerentes que ofrecían. Pronto en su trabajo, un artículo de Borel sobre la propiedad minimax lo llevó a desarrollar … ideas que culminaron en una de sus más originales creaciones, la teoría de juegos.[13]”
En 1940, von Neumann escribió su primer artículo relevante sobre juegos, intitulado Theory of Games I, general foundations, cuyo objetivo era, según los autores, “mostrar adecuadamente que los problemas típicos del comportamiento económico son rigurosamente idénticos a la soluciones matemáticas de ciertos juegos de estatégia”, que fue rápidamente seguido por un segundo artículo, Theory of Games II, decomposition theory, intentando sintetizar su trabajo sobre teoría de juegos. Ya anteriormente tenía escrito Zur Theorie dé Gesellschaftsspiele, en 1928 y en 1937 La Model of General Economic Equilibrium.
En 1944, con la publicación por John von Neumann y Oskar Morgenstern de Theory of games and Economic Behavior, este ramo de la matemática ganó una mayor proeminência. ES muy usado en economía, para buscar estrategias en situaciones en que el resultado no depende sólo de la estrategia propia de un agente y de las condiciones de mercado, pero también de las estrategias escogidas por otros agentes (que tienden a maximizar su propio retorno) o para examinar la competencia y cooperación dentro de pequeños grupos de empresas. Así, un juego puede ser definido como un conflicto envolviendo ganancias y pérdidas entre dos o más oponentes que siguen reglas formales. El primer capítulo de este libro suministra un contexto económico para la teoría de juegos, y los autores, basándose en el análisis de Bernoulli , establecen un sistema de axiomas para una herramienta numérica, conocida como la función de utilidad de von Neumann–Morgenstern, lo que representa un gran avance en la construcción de la teoría general, particularmente bajo riesgo y situaciones de incertidumbre, una vez que consiguieron estructurar matemáticamente la noción de que cada individuo escoge una alternativa en consonancia con una correcta probabilidad, de modo a maximizar la utilidad. Otra importante contribución de esta publicación es el concepto de equilibrio económico estático, pues, a pesar de su aplicación depender de la plantilla, no exige “reglas del juego” particulares (las ideas de Borel estaban limitadas a ejemplos aislados, o, en la mejor de las hipótesis, a juegos de suma nula, de dos jugadores, con matrices de payoff simétricas). Así, la solución de equilibrio de von Neumann y Morgenstern, al contrario de tratamientos anteriores, no depende de la competición perfecta o incluso de los contextos del mercado, que limitaban la interacción.
La solución de von Neumann y Morgenstern depende del concepto de “dominio”; esto significa que los jugadores excluyen estrategias que serán desvantajosas para ellos. La aplicación de este concepto depende de los objetivos de los jugadores y de las “reglas del juego” definidas. Este concepto de solución se aplica a problemas de optimización individual, juegos cooperativos y juegos de la política; en este contexto, la solución no es sólo una única imputação, pero un conjunto de imputações, siendo cada uno estable, en el sentido en que ninguna de las imputações que lo componen domina las otras, y cada una fuera de un conjunto es dominada por por lo menos una imputação dentro. El concepto de solución propuesto por ambos autores no era ni óptimo ni, en general, exclusivo.
Se ha observado que, al contrario de varios teorizadores de juegos actuales, von Neumann y Morgenstern se sentían atraídos por la multiplicidade de soluciones de equilibrio, en vez de perturbados. Su teoría no predice que solución irá a ser observada o que imputação será obtenida dentro de cada solución. Una solución puede estar correlacionada con un comportamiento standard o instituciones que gobiernan una organización social en un momento particular. De este modo, contrariamente a otras aproximaciones, hay un vasto abanico de indeterminismo, y, citando Philip Wolfe:
“Von Neumann realzó que la enorme variedad de soluciones que pueden ser observadas para juegos de n-jugadores no era sorprendente debido a la correspondiente enorme variedad de estructuras sociales estables observadas; muchas convenciones diferentes pueden perdurar, existiendo hoy por ninguna razón mejor de que ellas estaban acá ayer.”
A pesar de todas las contribuciones de Theory of Games and Economic Behavior, su contribución más significativa para la economía fue, probablemente, la sistematização de la teoría de juegos como un ramo de la teoría de la elección. El primer paso en el desarrollo de la teoría de juegos envuelve la construcción de una descripción formal y matemática del juego. Von Neumann y Morgenstern fueron los primeros a describir los juegos como una clase, a delimitar la estructura de información de un juego, a diseñar un árbol del juego y a definir la solución de un juego. Hube autores como Cournot que ya habían analizado problemas que serían más tarde reconocidos como parte de la teoría de juegos, pero fueron von Neumann y Morgenstern que establecieron la teoría de juegos como un campo autónomo y distinguido. Debido a su aversión a la matemática, los economistas dieron una respuesta bastante negativa al trabajo de von Neumann y Morgenstern, así como a su visión crítica de trabajos proeminentes sobre teoría económica más convencional. La mejor respuesta a su trabajo vino de la comunidad académica de matemáticos aplicados de Princeton , que se mostraron especialmente receptivos a la importancia de la teoría de la decisión estadística, y de estrategas de la corporação RAND y del departamento de investigación naval. Aunque haya sido negligenciado a la partida, a largo plazo Theory of Games and Economic Behavior ejerció una enorme influencia en la economía, pues liberó la economía del cálculo diferencial, y llevó el estudio económico para nuevas direcciones tales como la conexión entre el núcleo y el equilibrio competitivo general.
El ejemplo más clásico de un juego es el Dilema del Prisionero, creado por Albert Tucker en 1950, generalmente explicado a través de una historia, a pesar de no limitarse a esta situación, pues la dinámica subyacente puede ser usado para describir cualquier tipo de fenómenos. La historia del juego es entonces la siguiente:
Dos hombres, A y B, son prendidos tras un asalto armado. La policía tiene pruebas suficientes para acusar los dos del robo del coche de fuga, pero no las suficientes para los acusar del asalto propiamente dicho. Pero, si la policía conseguir una confissão de alguno de los dos assaltantes, podrá condenar ambos por asalto a la mano armada. Así, la policía cierra los hombres en celdas separadas y hace la misma oferta a ambos:
Si A confesar y B no diga nada, entonces A irá en libertad y B será acusada de robo y condenado a 10 años de prisión. Claro que la misma propuesta también fue presentada a B: si este confesar y La no diga nada, es A que será condenado a 10 años de prisión. Si ambos confiesen, reciben ambos 7 años de prisión. Si ninguno de ellos confesar, entonces reciben ambos 2 años de prisión por el robo del coche. Los dos prisioneros son dejados a pensar en la decisión a tomar, sin tener contacto uno con el otro. La cuestión que se coloca es: lo que es que cada assaltante escogerá? Asumiendo que cada uno actúa en consonancia con su interés personal, la solución que ocurre cada vez que este juego ocurre, es que quiere A quiere B escogen confesar, resultando en una sentencia de 7 años para cada uno. Puede parecer un bocado contra intuitivo… por qué razón irían los jugadores escoger confesar, una elección claramente peor a ambos estén callados y sean condenados a sólo 2 años de prisión cada? No es sólo esto, en términos del número total de años en prisión, este es el peor resultado posible!
El payoff esperado para el juego, es decir, la cantidad media de beneficios que la estrategia traerá, es mejor caso A confiese: 3.5 años de prisión por confesar versus 6 años por quedar en silencio. Entonces, de una perspectiva racional, es preferible que A confiese en vez de quedar callado. Para más, A queda siempre mejor confesarse, independientemente del que quiere que B haga. Si B confesar, La tanto puede tener 7 años de prisión si también confesar, o 10 años quedarse en silencio; si B quede callada, La tanto puede tener 0 años de prisión confesarse o 2 años por quedar callado. Infelizmente para A, el mismo es válido para B, que también quedará mejor confesarse. Esto quiere decir que se ambos hagan lo que es mejor para sus intereses, quedarán 7 años en la prisión! Este ejemplo demuestra que, en muchos juegos, la “mejor” solución (aquella en la cual el resultado es más elevado) no es aquella que va a acontecer en el final.
El minimax es un método usado en teoría de la decisión para minimizar la pérdida máxima posible, o, alternativamente, puede ser pensado como la maximização de la ganancia mínima. De entrada, comenzó por aplicarse un juego de suma cero en teoría de juegos, comprendiendo las situaciones en las cuales los jugadores hacen jugadas alternas y simultáneas, habiendo sido después expandido a juegos más complejos y a la toma de decisiones en la presencia de incertidumbre.
Una versión simple de este algoritmo leída con juegos como el juego de la piedra, en los cuales un jugador puede perder, empatar o ganar. Si el jugador A puede ganar en una jugada sólo, la suya mejor jugada es esa. Si el jugador B sabe que una determinada jugada llevará a que el jugador A pueda ganar en una jugada, mientras que otra llevará a que el jugador A pueda a lo sumo, empatar, la suya mejor jugada será esa. Con el avance del juego, se hace fácil ver cuál es la mejor jugada. El algoritmo minimax ayuda a encontrar la mejor jugada, comenzando del fin para el inicio del juego; en cada paso se asume que el jugador A está intentando maximizar sus oportunidades de ganar (Max), mientras que por su lado el jugador B está intentando minimizar las oportunidades de A ganar (Min).
Von Neumann es considerado el padre de la teoría de juegos en parte debido a la demostración del teorema minimax, en 1926. Este teorema constata que todo el juego de dos personas, de suma nula y finito, tiene estrategias mixtas óptimas y establece una solución racional para un conflicto (juego) definido con exactitud, en el cual ambas partes están convictas de que no pueden escoger ninguna estrategia mejor para alcanzar su objetivo, debido a la propia naturaleza del conflicto. Este teorema se aplica a varios juegos de entretenimiento, desde los más triviales, como el “par o impar” o cuatro en línea, hasta a los más complejos, como el xadrez. Von Neumann demostró que para este tipo de juegos hay siempre una forma “correcta” o “óptima” de los jugar. Para cualquier juego de dos personas con suma cero, el valor minimax es siempre mayor o igual al valor maximin. Cuando esos valores son iguales, las estrategias escogidas son llamadas estrategias óptimas, y ningún jugador cambiará su estrategia, pues eso implicaría un resultado peor, si el otro jogadar mantenga su estrategia.
A pesar de la teoría de juegos haber sido estudiada por von Neumann por un largo periodo de tiempo, hay una diferencia en la manera como el tema es abordado en su artículo de 1928 y en el trabajo realizado con Morgenstern. Teniendo en cuenta su primer artículo, se nota que su principal objetivo era el teorema Minimax. Pero, se sabe que, aún antes de 1927, sugirió a D. König la aplicación de un resultado teórico-gráfico de modo a probar que un juego con una regla de paragem era finito, y, a partir de ese mismo artículo de König,[14] se sabe que corrigió un error en la prueba de Zermelo de que el xadrez era un juego de estrategia pura. Un artículo de Kalmar [15] también nos informa que, en la misma altura, von Neumann formuló y probó la solución minimax para estrategias puras en juegos de información perfecta. La clase de juegos normalizada en el artículo de 1928 se restringe a los juegos finitos en que un jugador, cuando tiene que hacer una elección, o sabe todo o no sabe nada sobre las elecciones anteriores. Bajo la influencia de Morgenstern, la clase particular atrás referida fue ensanchada a través de una nueva formulação en términos de la partición de las jugadas, pasando a incluir juegos que podrían sólo tener una información parcial sobre las elecciones anteriormente hechas. En este su trabajo, consiguieron encontrar una teoría exacta para el “bluff” practicado en el poker, que reducía el “bluff” a una actividad racional, y establecía, en el general, probabilidades en consonancia con las cuales el “bluff” debería ser utilizado en cada oportunidad. Una característica técnica importante en el trabajo de von Neumann sobre el poker fue la determinación de soluciones minimax a través del uso de estrategias ahora conocidas como estrategias comportamentais.
Con el teorema minimax, von Neumann consiguió probar que es posible encontrar la mejor estrategia que maximiza potenciales ganancias o que minimiza potenciales pérdidas. Pero, la solución encontrada por von Neumann está limitada a juegos de suma cero, que no corresponden a la mayor parte de los conflictos de interés en situaciones económicas y sociales, tal como observó la mente brillante de John Nash. Nash probó que, desde que puedan existir estrategias mixtas, en un juego con un número arbitrario de jugadores existe por lo menos un punto de equilibrio, generalizando la aplicación de la teoría de juegos propuesta por von Neumann.
Economía
Von Neumann estaba interesado en mostrar que la matemática podía ser una herramienta con diversas aplicaciones, aún en campos que no eran fáciles de formalizar matemáticamente. Tal puede explicar las importantes contribuciones de él para la economía, una vez que su trabajo reflecte más una creencia de que la matemática podía tener un papel importante en la ciencia y sociedad del que un interés por asuntos económicos. Sus dos mayores contribuciones en esta área fueron la Plantilla General de Equilibrio Económico, más comúnmente referido como plantilla de una economía en expansión (MEE), y la teoría de juegos y comportamiento económico (en la cual trabajó juntamente con Oskar Morgenstern).
Aún joven, en la década de 20, von Neumann demostró interés en estudiar economía en un seminario en Berlín y Nicholas Kaldor . Sus primeros trabajos escritos en economía teórica surgieron los años 30, y en 1932, mientras dividía su tiempo entre Berlín y la América, presentó una plantilla económica en un seminario de matemática en Princeton. El texto, intitulado Sobre ciertas ecuaciones de la economía y una generalización del teorema del punto fijo de Brouwer fue publicado en 1937 como parte de los trabajos del colóquio de Karl Menger en Viena; dos años después, von Neumann envió una copia de su artículo la Kaldor, entonces presidente del comité editorial de la Review of Economic Studies, que decidió que el artículo merecía una audiencia más vasta, pelo que lo publicó en Octubre de 1945 (la Segunda Guerra Mundial provocó un retraso en la publicación) bajo el título Una plantilla General del Equilibrio Económico.
La plantilla de crecimiento de von Neumann trabaja con n bienes y m procesos de producción, con retornos constantes a equilibrios. La tasa de salarios real corresponde a la necesidades de la vida y todo el exceso de receta es reinvestido. La tasa de salarios real es dada y las recetas tienen naturaleza residual. En este contexto, von Neumann determina como el proceso transcurre, tipos de interés y precios, y la tasa de crecimiento del sistema económico (determinada endogenamente). Más allá de probar que una solución general de equilibrio era posible, el mayor hecho de von Neumann fue la armonía entre las assumpções de la plantilla y las diferentes faces de la solución. Más concretamente, él demostró que el tipo de interés es la misma en toda economía y todo el logro se expande a la misma tasa.
La plantilla de von Neumann da particular atención a los aspectos circules del proceso de producción, y una de sus innovaciones fue la eliminación de la distinción entre factores primarios y outputs, lo que significa que no hay factores “originales” (como el trabajo) como en la teoría tradicional. El “trabajo” deja de ser un factor primario, y es ahora un factor de producción, una vez que los trabajadores usan productos para poder producir otros productos.
En la busca de la solución de equilibrio, la matemática probó ser esencial: el uso del teorema del punto fijo de Brouwer ayudó von Neumann a probar la existencia de un equilibrio en la tasa de crecimiento dinámica. La solución del problema económico es arreglada de modo a que todos los bienes sean producidos al mínimo coste posible, en la mayor cantidad posible. En consonancia con la plantilla de von Neumann, el máximo crecimiento implica la existencia de un equilibrio dinámico, expresamente la existencia de un punto de sela de una función que relacione el input y el output.
Cuando fue presentado, el MEE provocó grande agitação entre los economistas, y varias objecções fueron levantadas (la mayoría debido a interpretaciones incorrectas): algunos decían que él favorecía una economía esclavagista, otros criticaban la premissa de que una actividad acaba cuando no gana la tasa de logro del mercado. Críticas a la parte, la mayor limitación del MEE era su carácter no-monetario, pues no era posible determinar los efectos de las acciones de los principales banqueros en superexpandir o super-restringir el dinero. A pesar de estos problemas, el MEE tuvo un enorme impacto en la economía: aumentó las herramientas matemáticas de los economistas, añadiendo cosas como la teoría de conjuntos convexos o la programación matemática; permitió una mejor compreensão de las diferencias entre planificación económica y los efectos del mercado libre y ayudó el desarrollo de plantillas dinámicas sobre el crecimiento económico.
La base del trabajo de von Neumann aún no está totalmente esclarecida. Parece haber una conexión entre su trabajo y lo de economistas vienenses los años 30, sugerida por la propia historia, una vez que su trabajo es visto como parte del grupo de equilibrio general asociado al Menger Colloquium, cuyos miembros trabajaban en el problema de existencia de una solución de equilibrio para la plantilla de Walras-Cassel (plantilla de equilibrio general en el cual los individuos piden bienes y ofrecen elementos, y las empresas piden elementos y producen bienes de manera constante. El equilibrio general se define como un conjunto de precios de factores y outputs tales que las cantidades pedidas y ofrecidas en cada mercado son iguales, garantizando la competición que el precio iguale el coste de producción en cada proceso de producción y curso).
La plantilla de MEE de von Neumann también incluye varias vertientes consideradas importantes por los economistas vienenses: el uso de desigualdades en vez que ecuaciones, precio cero para bienes en exceso de oferta y la ênfase en el equilibrio a largo plazo sin logro. Algunos economistas defienden que la plantilla de von Neumann se basa en la tradición clásica de pensamiento económico: para ellos, tal es evidente atendiendo a aspectos tales como las ideas de que la naturaleza del proceso de producción es circular y de una economía que se expande uniformemente, siendo la tasa de expansión determinada endogenamente; la dualidade de las variables monetarias y técnicas o la manera como la regla de los bienes libres fue aplicada a los factores primarios de producción y a los bienes.
En una primera abordagem, la “interpretación clásica” de la plantilla de crecimiento de von Neumann representaba una perspectiva totalmente diferente del dominante punto de vista neoclássico. Pero, rápidamente surgieron argumentos a favor, por parte de economistas como David Gawen Champernowne, Richard Goodwin o Nicholas Kaldor.
Curiosidades
A título de curiosidad, y para demostrar la facilidad de von Neumann con números, presento ahora historias que se cuentan sobre su rapidez en la resolución de problemas, tal como presentadas por P.R. Halmos en:[4]
Cuando su ordenador electrónico quedó pronto, alguien sugirió una prueba relativamente simple envolviendo potencias de 2, un problema del género: cuál es la más pequeña potencia de 2, tal que su cuarto dígito a contar de la derecha sea 7? El ordenador y von Neumann comenzaron a la vez, y von Neumann acabó primero!
Noutra ocasión, un joven científico de Aberdeen Proving Ground necesitaba de calcular el valor de una expresión complicada. Pasó 10 minutos en el primer caso especial; el segundo cálculo tardó una hora; para el tercero, tuvo que recurrir a una calculadora, y aún así tardó mediodía. Cuando von Neumann apareció en la ciudad, el joven científico aprovechó para preguntarle se sabía como había de resolver tal problema, lo que von Neumann aceptó listamente. Entonces comenzó a ver lo que acontecía para el caso n=1. Fijó un punto en el horizonte, murmuró unas cuentas por un minuto, y, sabiendo la respuesta, el joven lanzó uno “2.31?” Neumann miró para él, y continuó. “Para n=2, …” El interrogador estaba preparado y conseguía seguir algunos de los cálculos que von Neumann murmuraba. Así, unos segundos antes de dar la respuesta, interrumpió von Neumann de nuevo, preguntando, hesitante: “7.49?” Esta vez, von Neumann frunció el sobrolho y se apresuró a continuar, pero el mismo aconteció… aún antes de él llegue al resultado, el joven científico exclamó “11.06!” Esto fue demás para von Neumann! Un principiante desconocido estaba siendo mejor que él! Quedó aborrecido y amuou hasta el joven confesar la brincadeira.
Tenemos también la pregunta de la mosca y de los ciclistas: Dos ciclistas comienzan alejados 20 millas, y andan en direcciones opuestas a una velocidad constante de 10 mph. A la vez, una mosca que viaja a 15 mph, comienza en la rueda dianteira del ciclista del norte, vuela hasta a la rueda dianteira del del sur, regresa al del norte y así por delante, hasta quedar chafada entre las dos ruedas. Cuál es la distancia recorrida por la mosca? Hay dos maneras de resolver este problema: la manera más lenta es calcular la distancia que la mosca recorre en el primer viaje, después en la segunda, etc., y después sumar las series infinitas que se obtienen; la manera más rápida es observar que las bicicletas se encuentran una hora tras partir, por lo tanto la mosca sólo tiene una hora para los viajes, donde la respuesta es 15millas. Cuando hicieron esta pregunta a von Neumann, este la resolvió en un instante, lo que decepcionó bastante quien hizo la pregunta, que dije “Oh, debía tener oído el truco antes!”, al que von Neumann respondió “Truco? Sólo sumé las series infinitas!”
Citações
En matemática no percibimos cosas. Sólo nos habituamos a ellas. (in G. Zukav The dancing Wu Li masters)
El hecho más característico acerca de la matemática es, en mi opinión, su relación peculiar con las ciencias naturales, o más generalmente, con cualquier ciencia que interprete experiencias a un nivel superior al meramente descriptivo.
De una manera general es uniformemente verdad que en la matemática hay un lapso de tiempo entre el descubrimiento matemático y el momento en que se hace útil; y que ese lapso puede ser cualquiera entre 30 y 100 años, en algunos casos aún más; y que todo el sistema parece funcionar sin cualquier dirección, sin cualquier referencia a la utilidad y sin cualquier deseo de hacer cosas que sean útiles.
Quienquiera que sea que considere métodos aritméticos para producir números aleatorios está, claro, en un estado de pecado. (in D. MacHale, Comic Sections (Dublin, 1993))
Existe un conjunto infinito A que no es demasiado grande.
Todos los procesos estables conseguiremos prever. Todos los procesos inestables conseguiremos controlar!
Las ciencias no intentan explicar, ellas difícilmente intentan interpretar, ellas hacen principalmente plantillas. Por una plantilla se entiende una construcción matemática que, juntamente con ciertas interpretaciones verbales, describe un fenómeno observado. La justificación de tal construcción matemática es sólo y precisamente que se espera que funcione.
Podía parecer que llegamos al límite del que era posible alcanzar con la tecnología de los ordenadores, pero, una persona debería ser cuidadosa con tales afirmaciones, pues tienden a sonar muy tontas en 5 años. (dicho en 1949)
No hay sentido en ser preciso cuando no se sabe de que se está hablando.
Referencias
- ↑ John von Neumann. MSN Encarta.
- ↑ a b John von Neumann, Macrae N. (Pantheon, New York, NY, 1992)
- ↑ a b c d Prisoner’s Dilemna, Poundstone, W. (Oxford, 1993)
- ↑ a b c d y The legend of John von Neumann, Halmos, P.R. (Amer. Math. Monthly 80, 1973)
- ↑ Obituário del The Equipos
- ↑ John von Neumann and Norbert Wiener: From mathematics te lo the tecnologies of life and death, Heims, S. J. (Cambridge, ME La, MIT Press, 1980)
- ↑ John von Neumann’s work in the theory of games and mathematical economics, Kuhn, H.W. and Tucker, A.W. (Bull. Amer. Math. Soc. 64, Number 3, pg. 100-122, 1958)
- ↑ ] John von Neumann, Ulam (Bull. Amer. Math. Soc. 64, pg. 1-49, 1958)
- ↑ Von Neumann's contributions te lo Quantum Theory, Van Hove (Bull. Amer. Math. Soc. 64, pg. 95-99, 1958)
- ↑ Stern, Nancy (octubre 1980). "John von Neumann's Influence on Eletronic Digital Computing, 1944-1946" (en ingles). Annals of The History of Computing 2 (4): 384. Arlington, VA: American Federation of Information Processing Societies. ISSN 1058-6180.
- ↑ La invención del ordenador, Lévy, Pierre In: Serres, Michel (Org.). Elementos para una Historia de las Ciencias III: de Pasteur al ordenador. Lisboa, Terramar, 1989
- ↑ Von Neumann’s contributions te lo automata theory, Shannon, C.Y. (Bull. Amer. Math. Soc. 64, pg. 123-129, 1958)
- ↑ John von Neumann, Ulam (Bull. Amer. Math. Soc. 64, pg. 1-49, 1958)
- ↑ Über eine Schlussweise aus dem Endlichen ins Unendliche, König, D. (Acta Sci. Math Szeged, vol. 3, pg. 121-130, 1927)
- ↑ Zur Theorie dé abstrakten Spiele, Kalmar, L. (Acta Sci. Math. Szeged. Vol. 4, pg. 65-85, 1928-1929)
Ver también
Conexiones externas
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