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Identidad trigonométrica

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Una identidad trigonométrica es una ecuación envolviendo funciones trigonométricas y que es verdadera para todos los valores de las variables envueltas. Estas identidades son útiles siempre que expresiones envolviendo funciones trigonométricas deban ser simplificadas. Una importante aplicación es la integración de funciones no-trigonométricas: un truco común envuelve primero usar la integración por sustitución con una función trigonométrica y entonces simplificar la integral resultante con una identidad trigonométrica.

Notação: En funciones trigonométricas, será usada a abreviação Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): {\operatorname{sen}}^2(x)\,\!

para Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): (\operatorname{sen}(x))^2\,\!

.

Tabla de Trigonometria de la Cyclopaedia (1728)

Tabla de contenido

De las definiciones

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \tan(x) = \frac {\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)}\,\!
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \cot(x) = \frac {1}{\tan(x)}\,\!
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \sec(x) = \frac {1}{\cos(x)}\,\!
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \csc(x) = \frac {1}{\operatorname{sen}(x)}\,\!


Periodicidade, simetria y traslaciones

Estos son fácilmente deducidos del ciclo unitario:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \operatorname{sen}(x) = \operatorname{sen}(x + 2\pi)\,\!
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \cos(x) = \cos(x + 2\pi)\,\!
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \tan(x) = \tan(x + \pi)\,\!


Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \operatorname{sen}(-x) = -\operatorname{sen}(x)\,\!
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \cos(-x) = \cos(x)\,\!
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \tan(-x) = -\tan(x)\,\!
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \cot(-x) = -\cot(x)\,\!


Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \operatorname{sen}(x) = \cos(\frac {\pi}{2} - x)\,\!
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \cos(x) = \operatorname{sen}(\frac {\pi}{2} - x)\,\!
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \tan(x) = \cot(\frac {\pi}{2} - x)\,\!


Del Teorema de Pitágoras

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \operatorname{sen}^2(x) + \cos^2(x) = 1\,\!
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \tan^2(x) + 1 = sec^2(x)\,\!
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \cot^2(x) + 1 = csc^2(x)\,\!


Teoremas de adición

La forma más rápida de demostrarlos es por la Fórmula de Euler. La fórmula de la tangente sigue de las otras dos.

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \operatorname{sen}(x + y) = \operatorname{sen}(x) \cos(y) + \cos(x) \operatorname{sen}(y)\,\!
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \operatorname{sen}(x - y) = \operatorname{sen}(x) \cos(y) - \cos(x) \operatorname{sen}(y)\,\!
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \cos(x + y) = \cos(x) \cos(y) - \operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(y)\,\!
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \cos(x - y) = \cos(x) \cos(y) + \operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(y)\,\!


Fórmulas de doble ángulo

Estas pueden ser mostradas sustituyendo x = y en los teoremas de adición, y usando el Teorema de Pitágoras para las últimas dos. O usando la fórmula de De Moivre con n = 2.

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \operatorname{sen}(2x) = 2 \operatorname{sen} (x) \cos(x)\,\!
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \cos(2x) = \cos^2(x) - \operatorname{sen}^2(x)\,\!
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \cos(2x) = 2 \cos^2(x) - 1\,\!
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \cos(2x) = 1 - 2 \operatorname{sen}^2(x)\,\!


Fórmulas de reducción de potencias

Resuelva la tercera y la cuarta fórmula de doble ángulo para Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \cos^2(x)\,\!

y Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \operatorname{sen}^2(x)\,\!

.

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \cos^2(x) = \left(\frac {1 + \cos(2x)}{2}\right)
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \operatorname{sen}^2(x) = \left(\frac {1 - \cos(2x)}{2}\right)


Fórmulas de medio ángulo

Sustituya x/2 por x en las fórmulas de reducción de potencia, entonces resuelva para Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \cos(x/2)\,\!

y Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \operatorname{sen}(x/2)\,\!

.

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \cos(\frac {x}{2}) = +-\sqrt{\frac {1 + \cos(x)}{2}}
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \operatorname{sen}(\frac {x}{2}) = +-\sqrt{\frac {1 - \cos(x)}{2}}


Productos para sumas

Estas pueden ser probadas expandiendo los miembros derechos usando los teoremas de adición.

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \cos(x) \cos(y) = \frac {\cos(x+y) + \cos(x-y)}{2}
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(y) = \frac {\cos(x-y) - \cos(x+y)}{2}
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \operatorname{sen}(x) \cos(y) = \frac {\operatorname{sen}(x+y) + \operatorname{sen}(x-y)}{2}


Sumas para productos

Sustituya Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): x\,\!

por Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \frac{x+y}{2}
y Falló  al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): y\,\!
por Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \frac{x-y}{2}
en las fórmulas de producto para suma.
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \operatorname{sen}(x) + \operatorname{sen}(y) = 2 \operatorname{sen}\left(\frac {x+y}{2}\right) \cos\left(\frac {x-y}{2}\right)
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \cos(x) + \cos(y) = 2 \cos\left(\frac {x+y}{2}\right) \cos\left(\frac {x-y}{2}\right)


Cálculo

Si las funciones trigonométricas son definidas geométricamente, entonces sus derivadas pueden ser encontradas de entrada verificando que Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \lim_{x\te lo 0} {\sin x}/x = 1\,\!

y entonces usando la definición por límite de la derivada y los teoremas de adición; si ellos son definidos por sus Series de Taylor, entonces las derivadas pueden ser encontradas por la diferenciação de las series de potencias término a término.
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \frac {\partial}{\partial x} \operatorname{sen}(x) = \cos(x)


El restante de las funciones trigonométricas puede ser diferenciado usando las identidades arriba y las reglas de diferenciação , por ejemplo

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \frac {\partial}{\partial x} \cos(x) = -\operatorname{sen}(x)
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \frac {\partial}{\partial x} \tan(x) = sec^2(x)


Las identidades de integral pueden ser encontradas en la tabla de integráis de la wikipédia.