Estructura algébrica

Origen: Wikipédia, la enciclopédia libre.

Error al crear miniatura:
(rsvg-convert:24619): GLib-WARNING **: GError set over the top of a previous GError or uninitialized memory.
This indicates a bug in someone's code. You must ensure an error is NULL before it's set.
The overwriting error message was: File not found
Error reading SVG:Failed to open file '//home/admin/wikilingue/big/images/4/4e/Tango-nosources.svg': No such file or directory

Este artículo o sección no cita ninguna fuente o referencia
Ayude a mejorar este artículo providenciando fuentes fiables e independientes, insertándolas en el cuerpo del texto o en notas de rodapé. Encuentre fuentes: Google – news, books, scholar, Scirus

Esta página o sección fue marcada para revisión, debido a inconsistências y/o datos de confiabilidade duvidosa. Si tiene algún conocimiento sobre el tema, por favor verifique y mejore la consistencia y el rigor de este artículo. Puede encontrar ayuda en el WikiProjeto Matemática.

Existirse un WikiProjeto más adecuado, por favor corrija esta predefinição. Este artículo está para revisión desde {{{fecha}}}.

En álgebra abstracta, una estructura algébrica consiste en un conjunto asociado a una o más operaciones sobre el conjunto que satisfacen ciertos axiomas. Si no existan ambiguidades, generalmente se identifica el conjunto con la estructura algébrica. Por ejemplo, un grupo (G,*) se refiere generalmente sólo como grupo G.

En algunas estructuras algébricas además del conjunto principal existe más un conjunto, denominado conjunto de escalar. En este caso la estructura tendrá dos tipos de operaciones: operaciones internas, que operan los objetos principales entre sí y operaciones externas, que representan acciones de los escales sobre elementos del conjunto principal. Por ejemplo, un espacio vectorial ha dos conjuntos, un conjunto de vectores y otro de escalar. Así, si v1 y v2 son dos vetores y k es un escalar v1 * v2 sería el producto (interno) de vetores y k * v1 sería el producto (externo) de un escalar por un vetor.

El concepto de estructura algébrica puede ser considerado sinônomo de Álgebra y Álgebra universal.

Notação

ES común representar una estructura algébrica por una n-upla del tipo (G,F,+,-,f,<,1). En esta notação, son enumerados los conjuntos que forman parte de la estructura, seguido de constantes, funciones y relaciones.

Ejemplos

Dependiendo de las operaciones y axiomas, las estructuras algébricas ganan sus nombres específicos.

Lo que se sigue es una lista parcial de estructuras algébricas:

Grupóide: un conjunto con una única operación binária
Casi-grupo: un grupóide en el cual la división es siempre posible
Lazo¹: un casi-grupo con un elemento neutro
Semi-grupo: un grupóide associativo
Monóide: un semigrupo con un elemento neutro
Grupo: un monóide, en el cual cada elemento tiene un inverso o, lo que es equivalente, un lazo¹ associativo
Grupo abeliano: un grupo que obedece la comutatividade
Anillo: un conjunto con una operación de grupo abeliano definida como adição, junto con una operación de semigrupo como la multiplicação, que satisfaga la distributividade
Cuerpo²: un anillo en el cual los elementos no-cero forman un grupo abeliano bajo multiplicação
Reticulado: un conjunto con dos operaciones comutativas, associativas y idempotentes, que satisfacen la ley de absorção
Álgebra booleana: un reticulado limitado, distributivo y complementado

En las estructuras siguientes, tenemos dos conjuntos, uno de ellos (auxiliar), llamado de conjunto de escalar y otro, el conjunto principal. Además de las operaciones internas sobre el conjunto principal, podemos tener operaciones conectando los dos conjuntos:

Módulo: M es un módulo sobre un anillo A cuando M es un grupo abeliano, y tenemos una función de A x M en M, definida como multiplicação escalar, con reglas que se parecen formalmente con la distributividade y la associatividade
Espacio vectorial: un módulo sobre un cuerpo. Si V es un espacio vectorial sobre un cuerpo F, llamamos los elementos de V de vectores y los elementos de F de escalar
Álgebra: un módulo o espacio vectorial, junto con una operación bilinear entre vectores definida como multiplicação
Álgebra associativa: una álgebra cuya multiplicação es associativa
Álgebra comutativa: una álgebra associativa cuya multiplicação es comutativa
Álgebra de Kleene: dos operaciones binárias y un operador unitário, modelados en expresiones regulares
Conjunto: aunque algunos matemáticos discordem, un conjunto puede ser considerado una estructura algébrica degenerada, con cero operaciones definidas sobre ella

Las proposiciones que se aplican colectivamente a todas las estructuras algébricas son investigadas en el ramo de la matemática conocido como álgebra universal.

Las estructuras algébricas también pueden ser definidas en conjuntos con estructuras no-algébricas adicionales, como los espacios topológicos. Por ejemplo, un grupo topológico es un espacio topológico con una estructura de grupo tal que las operaciones de multiplicação e inversão son continuas; un grupo topológico posee quiere una estructura topológica, quiere una estructura algébrica. Otros ejemplos comunes son espacios vectoriales topológicos y grupos de Lie.

Cada estructura algébrica tiene su propia noción de homomorfismo, una función que es compatível con la operación o las operaciones dadas. De esta forma, cada estructura algébrica define una categoría. Por ejemplo, la categoría de los grupos tiene como objetos todos los grupos y como morfismos todos los homomorfismos de esos grupos. Esta categoría, una vez que es una categoría concreta, puede ser vista como una categoría de conjuntos con estructura extra, en el sentido teórico de las categorías. Análogamente, la categoría de los grupos topológicos (con los homomorfismos continuos de grupo como morfismos) es una categoría de espacios topológicos con estructura extra.

Además de las estructuras algébricas, existen dos estructuras fundamentales más en la matemática. Son ellas:

Estructuras de orden, en que al conjunto principal es asociado una relación de orden. Por ejemplo, un reticulado es un conjunto parcialmente ordenado en que para cualesquier dos elementos a,b existe un supremo sup(a,b) y un ínfimo inf(a,b).
Estructuras topológicas en que el foco está en el conjunto de las partes P(C) de una conjunta C.

A partir de estas tres estructuras pueden ser definidas estructuras mixtas, cuando para un conjunto son considerados operaciones, relaciones y partes de forma combinada. Por ejemplo, un grupo topológico es un espacio topológico con una estructura de grupo tal que las operaciones de multiplicação e inversão son continuas; un grupo topológico posee quiere una estructura topológica, quiere una estructura algébrica. Otros ejemplos comunes son espacios vectoriales topológicos y grupos de Lie.