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Espacio euclidiano

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Espacio euclidiano es un espacio vectorial real de dimensión finita munido de un productointerno .

Alrededor de 300 a.C., el matemático griego Euclides estableció las leyes del que vino a ser llamado “Geometría euclidiana”, que es el estudio de las relaciones entre ángulos y distancias en el espacio. Euclides desarrolló de entrada “la geometría plana” que trata de la geometría de objetos bidimensionales en una superficie plana. Él entonces desarrolló la “geometría sólida”, con que analizó la geometría de objetos tridimensionales. Todos los axiomas de Euclides fueron codificados en un espacio matemático abstracto conocido como espacio euclidiano bi o tridimensional. Estos espacios matemáticos pueden ser extendidos a cualquier dimensión, y tal espacio es llamado espacio euclidiano n-dimensional o una n-espacio. Este artículo se refiere la tales espacios matemáticos.

Para desarrollar esos espacios euclidianos de dimensiones más elevadas, las propiedades de los espacios euclidianos conocidos deben ser expresas y entonces extendidas a una dimensión arbitraria. Aunque la matemática resultante sea un tanto abstracta, ella captura la naturaleza esencial de los espacios euclidianos con que todos nodos estamos familiarizados.

Una propiedad esencial de un espacio euclidiano es su planitude. Existen otros espacios que no son euclidianos. Por ejemplo, el espacio-tiempo quadridimensional descrito por la teoría de la relatividade cuando la gravedad está presente no es euclidiano.

Panorama

Una manera de pensarse en el plan euclidiano es como un conjunto de puntos que satisfacen a determinadas relaciones, expresabais en términos de distancia y de ángulo. Por ejemplo, hay dos operaciones fundamentales en el plan. Una es la traslación , que significa un desplazamiento del plan de modo que cada punto es desplazado en el mismo sentido y por la misma distancia. La otra es rotación en torno a un punto fijo en el plan, en que cada punto en el plan gira en torno a ese punto fijo a través del mismo ángulo. Uno de los principios básicos de la geometría euclidiana es que dos figuras (es decir, subconjuntos) del plan son consideradas equivalentes (congruentes) si una pueda ser transformada en la otra por alguna secuencia de las traslaciones y rotaciones.

Para hacerse todo eso matemáticamente preciso, se debe definir claramente las nociones de distancia, ángulo, traslación, y rotación. La manera normalizada para hacerse eso, como realizado en el restante de este artículo, es definir el plan euclidiano como un espacio real vectorial bidimensional equipado con un productointerno . Para tanto:

Una vez que el plan Euclidiano fue descrito de esa forma, es realmente una cosa fácil extender su concepto la dimensiones arbitrarias. Para la mayor parte, el vocabulário, las fórmulas y los cálculos no son hechos con más dificultad por la presencia de más dimensiones. (Sin embargo, las rotaciones son más sutis en dimensiones elevadas, y visualizar espacios de dimensiones más llevadas se hace difícil, aún para matemáticos expertos.)

El espacio euclidiano no es técnicamente un espacio vectorial pero más exactamente un espacio afim, en que un espacio vectorial actúa. Intuitivamente, la distinción dice sólo que no hay ninguna elección canônica de donde el origen debe dirigirse en el espacio, porque ella puede ser trasladada para cualquier lugar. En este artículo, ese detalle técnico es ampliamente ignorado.

Espacio coordinado real

Sea Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \mathbb{R}\!

el cuerpo de números reales. Para cualquier entero no-negativo Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): n\!

, el espacio de todos las Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): n\, -uplas de números reales forma un espacio vectorial Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): n\, -dimensional sobre Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \mathbb{R}\! , que es denotado Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \mathbb{R}^n\!

y a veces llamado de espacio coordinado real. Un elemento de Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \mathbb{R}^n\!
es escrito como 
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \mathbf{x} = (x_1, x_2 , \ldots, x_n ),


donde cada Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): x_i\!

es un número real. Las operaciones del espacio vectorial en Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \mathbb{R}^n\!
son definidas por

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \mathbf{x} + \mathbf{y} = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \ldots, x_n + y_n),


Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): a\,\mathbf{x} = (a x_1, a x_2, \ldots, a x_n).


El espacio vectorial Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \mathbb{R}^n\!

viene con una base normalizada (base canônica):

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \begin{array}{c} \mathbf{y _1}= (1, 0, \ldots, 0), \\ \mathbf{y _2}= (0, 1, \ldots, 0), \\ \vdots \\ \mathbf{y _n}= (0, 0, \ldots, 1).\end{array}


Un vector arbitrario en Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \mathbb{R}^n\!

puede entonces ser escrito en la forma
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \mathbf{x} = \sum_{i=1}^n x_i \mathbf{y _i..}


Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \mathbb{R}^n\!

es el ejemplo perfecto de un espacio vectorial real Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): n\,

-dimensional . Todo espaciovectorial real Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): n\, -dimensional Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): V\!

es isomórfico a Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \mathbb{R}^n\!

. Sin embargo, ese isomorfismo no es canônico. Una elección del isomorfismo es equivalente a una elección de la base para Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): V\!

(mirando la imagen de la base normalizada para Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \mathbb{R}^n\!
en Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): V\!

). La razón para trabajarse con espacios vectoriales arbitrarios en vez de Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \mathbb{R}^n\!

es que generalmente es preferible trabajar de una manera independiente de coordenadas (es decir, sin escoger una base preferida).

Características

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \sqrt{\langle v, v \rangle}


y el otro Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \overrightarrow{A C}\,

, entonces:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \cos \widehat{B A C} = \frac { \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}} { |AB| |AC| }\,


Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2 + \ldots}


y Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): v

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \langle u, v \rangle ^{2} \leq \langle u, u \rangle \cdot \langle v,v \rangle


donde Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \langle u, v \rangle

es el producto interno de Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): u
y Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): v

.


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