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Elemento neutro

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Elemento neutro, en matemática, es aquel cuya utilización en una operación matemática bien definida no causa alteración de identidad en el otro elemento con el cual entra en operación — por esa razón simple a justificar su neutralidad operacional. A veces acostumbra ser llamado también de elemento identidad. También puede ser llamado simplemente — cuando no haya posibilidad de confusión o por el uso estricto en dominio específico, inambíguo o unívoco — de neutro o aún de identidad (más infrecuente).

Esta, pero, es una definición simple o ingenua de la idea de elemento neutro. Su conceituação o definición formal pasará a ser presentada inmediatamente a continuación.

Se trata de concepto universal, cuya generalización lógica integra el conjunto de ideas que conducen al alcance — o mejor, proyectan el alcance — de la extraordinaria estructura de unidad de la Matemática.

Tabla de contenido

El CERO ES PAR

Elemento neutro también acostumbra ser llamado de elemento identidad, aunque la primera forma sea casi unánime entre las culturas. Con efecto, como un elemento con tal propiedad no causa alteración en la identidad (naturaleza o valor) del elemento con el cual es operado binariamente, es compreensível llamarlo también "elemento identidad", en el sentido de "elemento [que, doutro envuelto operando, preserva a] identidad". Esa nomenclatura, sin embargo, es minoritariamente utilizada. Basta observar que la casi totalidad de las culturas prefiere el equivalente vernáculo de "elemento neutro". Excepción notable es la cultura anglófona (EUA y Cia.), que, si bien use también ', prefiere, sin embargo, , redireccionando aquella forma a esta última.

Definición formal

Dato un grupóide S, o sea, un conjunto C munido de una operación binaria * (se representa por S = (C, *)), dato un elemento Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): N \in C\,

se ha que:
  1. para todo Y , N * Y = Y y Y * N = Y ,entonces el elemento N es dicha "elemento neutro bilateral", "elemento neutro irrestrito" o "elemento neutro" simplemente, pues aplicado a la izquierda o aplicado a la derecha del otro operando, no altera el valor de Y ;
  2. para todo Y , N * Y = Y ,entonces N es un "elemento neutro a la izquierda";
  3. para todo Y , Y * N = Y ,entonces N es un "elemento neutro a la derecha";
  4. para todo Y , N * Y = Y ,pero existe alguna X para el cual X * N ≠ X: el elemento es dicho "elemento neutro a la izquierda" o, más rigurosamente, "elemento neutro a la izquierda sólo", pues sólo operado a la izquierda inaltera el otro operando (operado a la derecha puede causar una alteración);
  5. para todo Y , Y * N = Y ,pero existe alguna X para el cual N * X ≠ X: el elemento es dicho "elemento neutro a la derecha, o, más rigurosamente, "elemento neutro a la derecha sólo", pues sólo operado a la derecha inaltera el otro operando (operado a la izquierda le causa alteración: no es, pues, neutro).

Propiedades

  1. Si existe un elemento neutro a la derecha y un elemento neutro a la izquierda, entonces ellos son iguales.

La prueba es simple: sea D un elemento neutro a la derecha y Y un elemento neutro a la izquierda. Como D es un elemento neutro a la derecha, tenemos que Y * D = Y .Como Y es un elemento neutro a la izquierda, tenemos que Y * D = D. Luego Y = D.

  1. El elemento neutro, se existe, es único.

Si existen dos elementos neutros Y y D, entonces por la propiedad arriba ellos son iguales.

Neutro e Inverso

La idea de elemento neutro, en Matemáticalato sensu, para incluir las Lógicas, las Lógicas matemáticas, la Semiologia etc. — coneta-si lógicamente con la idea de elemento inverso, en los siguientes términos:

al elemento "I" (o, más precisamente, "I*i" — para vincular el elemento neutro a una bien definida ley de composición) tal que:
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \ Y *_i I = I *_i Y = N

Para fijación inmediata y simple de ideas, al tratarse de conjuntos numéricos unidimensionais (aquellos definidos sobre un espacio vectorial Rn = R1 = R, en que "R" figura como el conjunto de los números reales y "n" = 1 figura como la dimensión lineal del espacio vectorial en examen), por ejemplo, cualquiera de los conjuntos numéricos que son subconjuntos amplios de R, se habla más comumente en:

  1. Neutro aditivo: el elemento resultante al sumarse con un elemento (dato) su conjugado elemento inverso aditivo. Él es, en estos casos, precisamente el número cero. Así, -3 es el inverso aditivo de +3, pues (-3) + (+3) = 0. Conversamente, +3 es el inverso aditivo de -3. Se habla, entonces, en pares conjugados de inversos aditivos. También: (+½ y -½), (+π y -π) etc... son otros pares conjugados de inversos aditivos. Se acostumbra llamar a la inversa aditivo también elemento opuesto aditivo (o, simplemente, opuesto, cuando no haya posibilidad de confusión, o por el uso del término en dominio específico, inambíguo, unívoco). Aún se usan los términos elemento simétrico aditivo o, simplemente — ressalva hecha — simétrico.
  2. Neutro multiplicativo: el elemento resultante al multiplicarse por un elemento (dato) su conjugado elemento inverso multiplicativo. Él es, en estos casos, precisamente el número uno. Así, 1/3 es el inverso aditivo de 3, pues (1/3) . (3) = 1. Conversamente, 3 es el inverso multiplicativo de (1/3). Se habla, también, en pares conjugados de inversos multiplicativos. También: (2 y 1/2), (π y 1/π) etc... son otros pares conjugados de inversos multiplicativos. Se acostumbra llamar a la inversa multiplicativo también elemento opuesto multiplicativo (o, simplemente, opuesto, cuando no haya posibilidad de confusión, o por el uso del término en dominio específico, inambíguo, unívoco). También se usan los términos elemento simétrico multiplicativo o, simplemente — ressalva hecha — simétrico.

Pero, es preciso tener en mente que los ejemplos relacionados a la leyes de composición "adición" y "multiplicación", conforme definidas sobre conjuntos numéricos sobre "Rn", no son los únicos, tampoco necesariamente los más importantes irrestritamente — aunque sea correcto reconocer que son muy importantes en la práctica del día-a-día. Con efecto, no sólo el matemático abstracto (el científico, el investigador, el profesional...) faena con muchísimos otros ejemplos de inversos y de neutros, pero, también, el ciudadano común, frecuentemente sin el saber siquiera. Sólo para fijar ideas en ese dominio, supóngase el siguiente ejemplo simple: (1) alguien da un paso adelante; (2) a continuación, ese alguien da un paso atrás, retornando a la posición originária; (3) es correcto, pues, conocer el par ("paso adelante" y "paso atrás") como par conjugado de "inversos de paso" (vectores unidimensionais?...) y el resultado (retorno al punto de partida) como el "elemento neutro de paso". Este ejemplo — extremadamente simple — fue citado para destacar la absoluta generalidade de la presencia de tales estructuras en la faena abstracta y también en la práctica del día-a-día.

Algunos ejemplos

Conjunto Operación Elemento neutro
Números reales
+ (adición)
0 (número cero)
Números reales
• (multiplicación)
1 (número uno)
Números reales
a b (exponenciação)
1 (neutro a la derecha sólo)
Matrices m-por-n
+ (adición)
Matriz nula
Matrices cuadradas n-por-n
• (multiplicación)
Matriz identidad
Cualquier función de una conjunta M por sí misma Composición de funciones)
Transformación identidad
Cualquier función de una conjunta M por sí misma
* (Convolução)
δ (Delta de Dirac)
Cadena de caracteres, listas
Concatenação
Cadena vacía, lista vacía
Números reales extendidos
Mínimo/Ínfimo
+∞
Números reales extendidos
Máximo/Supremo
−∞
Subconjuntos de una conjunta M
∩ (Intersección)
M
Conjuntos
∪ (Unión)
{ } (Conjunto vacío)
Álgebra booleana
∧ ("Y" lógico)
⊤ (Verdad)
Álgebra booleana
∨ ("O" lógico)
⊥ (Falsedad)
Superficies cerradas
# (Suma conetada)
Sólo dos elementos {y , f}     Operación * definida por
(1) y *  y =  f * y =  y y.  
(2) f * f = y *  f = f
y y f son ambos neutros a la izquierda,
sin embargo no existen neutros a la derecha
o tampoco Neutro bilateral

Como se nota del último ejemplo, es posible para un dato sistema (S,*) haber varios elementos neutros a la izquierda. De hecho, cada elemento puede ser un neutro a la izquierda. De modo semejante, puede haber varios elementos neutros a la derecha. Cuando haya ambos elementos neutros, el neutro a la izquierda y el neutro a la derecha y si ellos sean iguales entre sí, entonces dir-se-á haber un elemento neutro bilateral simple o — por simplicidade, cuando no haya posibilidad de confusión, o por el empleo del término en dominio específico, inambíguo, unívoco — sólo elemento neutro. Eso puede ser expreso por la siguiente sentencia lógica:

Si l es un elemento neutro a la izquierda y r es un elemento neutro a la derecha, entonces l = l * r = r.

No puede haber más que dos elementos neutros unilaterales. Cuando haya dos, y y f, entonces y * f será necesariamente igual o a y o a f .

Bajo el aspecto amplio matemático, todo-inclusivo y todo-exclusivo, son ciertamente posibles álgebras que no hayan elemento neutro (o, si preferirse, que tengan ningún elemento neutro). Se pueden citar como ejemplos triviales las operaciones binarias vectoriales producto escalar y producto vectorial, construidas sobre espacios vectoriales Rn (R = conjunta de los números reales y n (número natural) ≥ 1). En el primer caso (lo del producto escalar), la inexistencia del elemento neutro se debe al hecho de que, si los dos operandos son grandezas vectoriales, su resultado-producto, sin embargo, es una cantidad escale (un número real, lato sensu). Ya en el segundo caso, la inexistencia del elemento neutro se debe al hecho de que la dirección de cualquier producto vectorial no-nulo es siempre ortogonal a los operandos, de modo que no es posible, por definición, obtener un vector-resultado con la misma dirección que a de cualquiera de los operandos.

Ver también