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Elemento inverso

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Elemento inverso, en matemática, es aquel cuya utilización en una operación binaria matemática bien definida resulta en el elemento neutro específico de esa operación — por esa razón simple a justificar su inversibilidade operacional. A veces acostumbra ser llamado también de elemento opuesto o, aún de elemento simétrico. También puede ser llamado simplemente — cuando no haya posibilidad de confusión o por el uso estricto en dominio específico, inambíguo o unívoco — de opuesto o aún de simétrico (más infrecuente).

Esta, pero, es una definición simple o ingenua de la idea de elemento inverso. Su conceituação o definición formal pasará a ser presentada inmediatamente a continuación.

De modo semejante al concepto de elemento neutro — con el cual guardia íntima conexión lógica matemática — se trata de concepto universal, cuya generalización lógica integra el conjunto de ideas que conducen al alcance — o mejor, proyectan el alcance — de la extraordinaria estructura de unidad de la Matemática.

Tabla de contenido

Nomenclatura

"Elemento inverso" es la expresión preferible para la significación en causa cuando no se hace alusión a una operación binaria específica — o aunque se lo haga — cuando se desea expresar la idea por generalidade.

En el trato con leyes de composición a envolver conjuntos numéricos, al se consideren operaciones binarias como adición y multiplicación , el concepto de elemento inverso guardia precisamente la significación genérica ya presentada. Pero, algunas veces, se acostumbran emplear terminologias diferenciadas, como si propietarias fueran, vinculadas a una y la otra ley de composición. Así es que:

Esa atribución de terminologia diferenciada — principalmente a decir respeto al par de leyes de composición adición y multiplicación , también alcanza otros conjuntos y dominios. Así es que, por ejemplo: se habla en "matriz simétrica", para referirse a la matriz inversa aditiva; se dice "transformación simétrica" (o simplemente simetria, cuando tal uso sea inambíguo, unívoco), para referirse a la transformaciones geométricas que guarden ciertas propiedades, dichas simetria geométrica, según definición precisa. Se habla en simetria espacial, sistêmica etc..

Se debe tener en cuenta, sin embargo, que tales usos diferenciados — aunque sinônimos específicos legítimos — no hieren la unificación conceptual.

Definición formal

Dato un sistema matemático S, vale decir un conjunto C munido de una operación *, tal que se pueda representar por S = {C, *}, y dato un elemento cualquiera Y, perteneciente a C:

  1. Y –1 * Y = N y Y * Y –1 = N, irrestritamente: el elemento es dicho "elemento inverso bilateral", "elemento inverso irrestrito" o "elemento inverso" simplemente, pues aplicado a la izquierda o aplicado a la derecha del otro operando, resulta, pues, siempre el elemento neutro "N";
  2. Y –1 * Y = N pero Y * Y –1 ≠ N, restritamente: el elemento es dicho "elemento inverso a la izquierda sólo", pues sólo operado a la izquierda resulta la neutralização;
  3. Y * Y –1 = N pero Y –1 * Y ≠ N, restritamente: el elemento es dicho "elemento inverso a la derecha sólo", pues sólo operado a la derecha resulta la neutralização.
Nota: importante es observar aquí que el símbolo "Y –1" no significa, como puede sugerir una apreciación ligera, elevar el elemento "Y" al exponente un negativo (–1). Se trata, tan-solamente, de recurso de generalidade simbólica, que hace llamamiento a la idea de la inversão multiplicativa — sólo a la idea — convirtiéndola en representación genérica para cualquiera y toda inversão, según el concepto de elemento inverso.
Los conceptos de "izquierda" y de "derecha, aquí, no tiene significación propietaria de posición espacial, por lo menos no necesariamente. "Izquierda" y "derecha" como aquí empleados, se refieren a dominios de orden matemática: pueden significar respectivamente "antes" y "después", (o el contrario, si definido), así como también las ideas ordinarias de izquierda y derechista , respectivamente.

Relativamente a una dada operación binaria en un dato sistema matemático[1], cuya estructura algebraica sea conforme, al ser operado con otro cualquier elemento del mismo sistema, no le causa alteración en la identidad (naturaleza o valor). La conformidad expresa en la definición implica ser el sistema matemático en causa dotado de estructura algebraica de monóide o superior (grupo, cuerpo etc.).

Inverso y Neutro.

La idea de elemento inverso, en Matemáticalato sensu, para incluir las Lógicas, las Lógicas matemáticas, la Semiologia etc. — coneta-si lógicamente con la idea de elemento neutro, en los siguientes términos:

al elemento "N" (o, más precisamente, "N*i") tal que:
Y Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): *_i
Y –1 = Y –1 Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): *_i

Y = N*i

Para fijación inmediata y simple de ideas, al tratarse de conjuntos numéricos unidimensionais (aquellos definidos sobre un espacio vectorial Rn = R1 = R, en que "R" figura como el conjunto de los números reales y "n" = 1 figura como la dimensión lineal del espacio vectorial en examen), por ejemplo, cualquiera de los conjuntos numéricos que son subconjuntos amplios de R, se habla más comumente en:

  1. Inverso aditivo: el elemento (buscado) que sumado con un elemento (dato) resulta el elemento neutro aditivo, en estos casos, precisamente el número cero. Así, -3 es el inverso aditivo de +3, pues (-3) + (+3) = 0. Conversamente, +3 es el inverso aditivo de -3. Se habla, entonces, en pares conjugados de inversos aditivos. También: (+½ y -½), (+π y -π) etc... son otros pares conjugados de inversos aditivos. Se acostumbra llamar a la inversa aditivo también elemento opuesto aditivo (o, simplemente, opuesto, cuando no haya posibilidad de confusión, o por el uso del término en dominio específico, inambíguo, unívoco). Aún se usan los términos elemento simétrico aditivo o, simplemente — ressalva hecha — simétrico.
  2. Inverso multiplicativo: el elemento (buscado) que multiplicado por un elemento (dato) resulta el elemento neutro multiplicativo, en estos casos, precisamente el número uno. Así, 1/3 es el inverso aditivo de 3, pues (1/3) . (3) = 1. Conversamente, 3 es el inverso multiplicativo de (1/3). Se habla, también, en pares conjugados de inversos multiplicativos. También: (2 y 1/2), (π y 1/π) etc... son otros pares conjugados de inversos multiplicativos. Se acostumbra llamar a la inversa multiplicativo también elemento opuesto multiplicativo (o, simplemente, opuesto, cuando no haya posibilidad de confusión, o por el uso del término en dominio específico, inambíguo, unívoco). También se usan los términos elemento simétrico multiplicativo o, simplemente — ressalva hecha — simétrico.

Pero, es preciso tener en mente que los ejemplos relacionados a la leyes de composición "adición" y "multiplicación", conforme definidas sobre conjuntos numéricos sobre "Rn", no son los únicos, tampoco necesariamente los más importantes irrestritamente — aunque sea correcto reconocer que son muy importantes en la práctica del día-a-día. Con efecto, no sólo el matemático abstracto (el científico, el investigador, el profesional...) faena con muchísimos otros ejemplos de inversos y de neutros, pero, también, el ciudadano común, frecuentemente sin el saber siquiera. Sólo para fijar ideas en ese dominio, supóngase el siguiente ejemplo simple: (1) alguien da un paso adelante; (2) a continuación, ese alguien da un paso atrás, retornando a la posición originária; (3) es correcto, pues, conocer el par ("paso adelante" y "paso atrás") como par conjugado de "inversos de paso" (vectores unidimensionais?...) y el resultado (retorno al punto de partida) como el "elemento neutro de paso". Este ejemplo — extremadamente simple — fue citado para destacar la absoluta generalidade de la presencia de tales estructuras en la faena abstracta y también en la práctica del día-a-día. Son las estructuras matemáticas, los sistemas matemáticos, más onipresentes que se imagina.

Algunos ejemplos

Referencias

  1. Sistema, lato sensu, en significación plena, conforme la mejor comprensión.

Ver también