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Divergencia

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En cálculo vectorial, el operador divergencia[1] es un operador que mide la magnitud de "fuente" o "pozo" de un campo vectorial en un dato punto, es decir, él puede ser entendido como un escalar que mide la dispersão o divergencia de los vectores del campo en un determinado punto.

Por ejemplo, considere el volumen de aire de una sala siendo calentado o resfriado. El campo vectorial en este caso es la velocidad del aire moviéndose en un determinado punto. Si el aire es calentado en una determinada región él irá a expandirse en todas las direcciones, entonces el divergente del campo de velocidad en esta región será positivo pues se observemos un pequeño volumen en esa región tendremos más aire saliendo del que entrando en ese volumen. Si el aire resfria y se contrae, el divergente es negativo pues a hay en la región una convergencia de aire, si observáramos un pequeño volumen en esa región tendremos más aire entrando del que saliendo en este pequeño volumen.


Tabla de contenido

Definición

El operador divergencia es definido como la variación del flujo líquido del campo vectorial a través de una superfice de un volumen en una región.

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \operatorname{div}\,\mathbf{F} = \lim_{V \rightarrow 0} \iint_{S(V)} {\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} \over V } \; dS


Donde V es el volumen de una región arbitraria en R 3 que incluye un punto P, S(V) es la superfice del volumen, la integral es la integral de superfice y n el vector normal el área.

El resultado es una función : Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): f : R^3 \mapsto R

de la localización del punto P. Esta función puede ser vista como un campo escalar y en cada punto se tiene el valor de la divergencia.

Aplicación al sistema de coordenadas

Sea x, y, z un sistema de coordenadas cartesianas en un espacio euclidiano tridimensional, y sea ijk las bases de los vectores unitarios.

La divergencia de un campo vectorial continuamente diferenciável F = Fx i + Fy j + Fz k es definida como lo:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \operatorname{div}\,\mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial F_x}{\partial x} +\frac{\partial F_y}{\partial y} +\frac{\partial F_z}{\partial z}.


Aunque expreso en términos de coordenadas, el resultado es invariante bajo transformaciones ortogonales.

La notação común para la divergencia ·F es un conveniente mnemônico, donde el punto denota el productointerno .

Generalizaciones

La divergencia de un vector puede ser definido como un número cualquiera de dimensiones. Si

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \mathbf{F}=(F_1, F_2, \dots, F_n),


entonces

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \operatorname{div}\,\mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial F_1}{\partial x_1} +\frac{\partial F_2}{\partial x_2}+\cdots +\frac{\partial F_n}{\partial x_n}.


La noción de divergencia puede ser extendida aún para un sistema de coordenadas curvilíneas ortogonal, de dimensión 3, como [2]

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \operatorname{div}\,\mathbf{F} = \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \left[ \frac{\partial}{\partial q_1} \left( h_{2}h_{3}F_1 \right) +\frac{\partial}{\partial q_2} \left( h_{1}h_{3}F_2 \right) +\frac{\partial}{\partial q_3} \left( h_{1}h_{2}F_3 \right) \right].


donde

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): q_{i}
es la i-ésima coordenada
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): h_{i}
es el factor de escala asociada i-ésima coordenada

Referencias

  1. También referenciado como operador divergente, o simplemente divergente en diversos en libros-textos. A pesar de eso, el uso de esas expresiones no es recomendado. Ver La Intrigante Epidemia del “Divergente”, de Nivaldo Leemos.
  2. Martins, Y. R. y Capelas de Olivo, Y.. Ecuaciones diferenciales, metodo de criba de variables y los sistemas de Stäckel.  Campinas (SP): Instituto de Matemática, Estadística y Computación Científica, 2006.

Ver también

Conexiones externas

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