Cálculo vectorial

cálculo vectorial - Wikilingue - Encydia

Este anexiono o sección no cita ninguna fuente o referencia (desde agosto de 2009).
Ayude a mejorar este artículo providenciando fuentes fiables e independientes, insertándolas en el cuerpo del texto o en notas de rodapé. Encuentre fuentes: Google — noticias, libros, académico — Scirus

Tópicos en cálculo

Teorema fundamental
Límites de funciones
Continuidad
Cálculo vectorial
Cálculo matricial
Teorema del valor medio

Derivación
Regla del producto Regla del quociente Regla de la cadena Cambio de variables Diferenciação implícita Teorema de Taylor Tasas relacionadas Tabla de derivadas

Integración
Tábua de integráis Integral imprópria Integración por: partes, sustitución, sustitución trigonométrica, fracciones parciales

Cálculo vectorial
Gradiente Divergencia Rotacional Laplaciano Teorema del gradiente Teorema de Green Teorema de Stokes Teorema de la divergencia

Cálculo de varias variables
Cálculo matricial Derivada parcial Integral Múltiple Integral de línea Integral de Superficie Integral de volumen Matriz jacobiana

Cálculo vectorial o cálculo vectorial es una área de la matemática relacionada con el análisis real multivariável de vectores en dos o más dimensiones. Consiste en un conjunto de fórmulas y técnicas para la resolución de problemas, muy útil en la ingeniería y en la física .

Consideremos un campo vectorial, que asocia un vector cada punto en el espacio, y un campo escalar, que asocia un escalar cada punto en el espacio. Por ejemplo, la temperatura de una piscina es un campo escalar: cada punto podemos asociar un valor escalar para la temperatura. El fluir del agua en esa misma piscina es un campo vectorial: cada punto podemos asociar un vector velocidad.

Historia

Los quaternions fueron descubiertos por el irlandés William Rowan Hamilton en 1843. Hamilton buscaba formas de extender los números complejos (que pueden ser vistos como puntos de un plan) la dimensiones espaciales más elevadas. Quaternions son hechos de un vector de tres dimensiones más un escalar.

Posteriormente, Oliver Heaviside y Willard Gibbs entre otros, desarrollaron el álgebra vectorial y el cálculo vectorial.

Algunos de los apoiantes de Hamilton se opusieron fuertemente a los desarrollos crecientes del álgebra vectorial y cálculo vectorial, afirmando que los quaternions suministraban una notação superior. Aunque es decir discutível en tres dimensiones, los quaternions no pueden ser usados en otras dimensiones (a pesar de extensiones como las de los octonions y álgebra de Clifford puedan ser más aplicables). La notação vectorial sustituyó casi universalmente los quaternions en la ciencia e ingeniería alrededor de los meados del siglo XX.

Nociones

Campo -- ES una región del espacio matemático donde hay grandezas asociadas a sus puntos. Si esas grandezas se mantienen constantes al largo del tiempo decimos que ese campo es estable; si ellas tiene la misma dirección en todos los puntos decimos que el campo es UNIFORME; si ellas son iguales en todos los puntos decimos que el campo es HOMOGÊNEO.
Escalar -- es el nombre que se da la grandezas reales asociadas a puntos del espacio. No poseen sentido o dirección. Ejemplos: masa, temperatura, densidad.
Vectores -- son objetos o entes matemáticos constituidos por la asociación de un módulo (o valor absoluto), dirección y sentido cada punto del espacio. Ejemplos: velocidad lineal, aceleración, fuerza, velocidad de rotación.

Gráficamente, se acostumbra representar el vector por una flecha conectando dos puntos del espacio geométrico, que generalmente son designados como letras mayúsculas entre parentesis; Siendo (Lo) su punto de origen y (P) su punto de extremidad, el vector puede entonces ser simbolizado por la asociación de esos dos puntos, o sea, por (OP); su módulo es simbolizado por |OP|. Otro simbolismo frecuente consiste en designar el vector por una letra minúscula solapada de una pequeña flecha.

Álgebra vectorial -- ES el área de la matemática que trata de la operaciones y transformaciones de vectores; las definiciones usadas en el álgebra numérica son extensíveis a la algebra vectorial. Las definiciones fundamentales son:
1. dos vectores son iguales se tiene el mismo módulo, sentido y dirección, aunque hayan origen en puntos diferentes. Así (AB) = (CD) se |AB| = |CD| y ambos tiene el mismo sentido y dirección.
2. dos vectores que tengan el mismo módulo y dirección, sin embargo sentidos opuestos son llamados de opuestos y pueden ser representados con la misma designación, sin embargo una con la señal negativa. Ejemplo: (AB) = - (BA)
3. la suma o resultante de vectores es obtenido colocándose el origen de uno en la extremidad de otro, independendo de la secuencia u orden de colocación. Así la resultante de [(OA) +(AB) + (BC)] es (OC)
4. la diferencia entre los vectores [(AB) - (CD)] es el vector (OP) tal que [(OP) + (CD)] = (AB). Se define como vector nulo el vector cuyo módulo es igual a cero. El vector nulo no tiene sentido o dirección.
5. el producto de un escalar m por un vector (AB) es un vector de misma dirección de (AB), módulo igual a [m.|AB|], aún sentido si m > 0 y sentido opuesto si m< 0.
Leyes operacionales -- Para adición de vectores o multiplicación de vector por escalar, valen las leyes asociativas y comutativas, o sea:
1. Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): [(AB) + (CD)] = [(CD) + (AB)]

- ley comutativa de la adición

1. Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): (AB) + [(CD) + (EF)] = [(AB) + (CD)] + (EF)

- ley asociativa de la adición

1. Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): n\cdot (AB) = (AB)\cdot n

1. Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): m\cdot [n\cdot (AB)] = [m\cdot n]\cdot (AB)

- ley comutativa de la multiplicación

1. Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): [m + n]\cdot (AB) = m\cdot (AB) + n\cdot (AB)

- ley distributiva

1. Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): m\cdot [(AB) + (CD)] = m\cdot (AB) + m\cdot (CD)

- ley distributiva

Producto escalar de dos vectores - ES definido como el escalar resultante del producto de los módulos de los vectores y del coseno del ángulo formado entre ellos. P.ej.Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): (AB)\cdot (CD) = |AB|\cdot|CD|\cdot\cos \theta

, siendo Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \theta

el ángulo entre AB y CD.

Producto vectorial de dos vectores - ES definido como un vector cuyo módulo es el resultado del producto de los módulos de los dos vectores multiplicandos y el seno del ángulo que ellos forman; su dirección es perpendicular al plan definido por los vectores multiplicandos y el sentido es tal que los dos vectores multiplicandos y el resultante cuyo módulo, por la orden, formad un triédro positivo.

Nótese que el módulo del vector resultante es igual al área del paralelogramo construido por los vectores multipicandos. La ley asociativa de la multiplicación no se aplica a productos vectoriales.

Productos triples -- Son operaciones envolviendo simultáneamente productos escales y vetorias entre varios vectores, para las cuales, en general, no se aplican las leyes comutativas y asociativas.