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Teorema fundamental
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El Cálculo Diferencial e Integral, también llamado de cálculo infinitesimal, o simplemente Cálculo, es un ramo importante de la matemática, desarrollado a partir del álgebra y de la Geometría, que se dedica al estudio de tasas de variación de grandezas (como la inclinación de una recta) y la acumulação de cantidades (como el área bajo una curva o el volumen de un sólido). Donde hay movimiento o crecimiento y donde fuerzas variables actúan produciendo aceleración, el cálculo es la matemática a ser empleada.
El cálculo fue creado como una herramienta auxiliar en varias áreas de las ciencias exactas. Desarrollado por Isaac Newton (1643-1727) y Gottfried Leibniz (1646-1716), en trabajos independientes. El Cálculo auxilia en varios conceptos y definiciones en la matemática, química, física clásica, física moderna y economía . El estudiante de cálculo debe tener un conocimiento en ciertas áreas de la matemática, como funciones, geometría y trigonometria, pues son la base del cálculo. El cálculo tiene inicialmente tres "operaciones-base", o sea, posee áreas iniciales como el cálculo de límites , el cálculo de derivadas de funciones y la integral de diferenciales.
La integral indefinida también puede ser llamada de antiderivada, una vez que es un proceso que inverte a derivada de funciones. Ya la integral definida, inicialmente definida como Suma de Riemann, establece límites de integración, o sea, es un proceso establecido entre dos intervalos bien definidos, de ahí el nombre integral definida.
Con el advento del "Teorema Fundamental del Cálculo" se estableció una conexión entre los dos ramos del cálculo: el Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral. El cálculo diferencial surgió del problema de la tangente, mientras el cálculo integral surgió de un problema aparentemente no relacionado, el problema del área. El profesor de Isaac Newton en Cambridge, Isaac Barrow, descubrió que esos dos problemas están de hecho estrictamente relacionados, al percibir que la derivación y la integración son procesos inversos. Fueron Leibniz y Newton que exploraron esa relación y a utilizaron para transformar el cálculo en un método matemático sistemático. Particularmente ambos vuelcan que el Teorema Fundamental los capacitou a calcular áreas e integráis muy más fácilmente, sin que fuera necesario calcularlas como límites de suma (método descrito por el matemático Riemann, pupilo de Gauss ).
Tabla de contenido |
Historia
La historia del cálculo se encaja en varios periodos distinguidos, de forma notable en las eras antigua, medieval y moderna .
Antiguidade
En la Antiguidade , fueron introducidas algunas ideas del cálculo integral, aunque no haya habido un desarrollo de esas ideas de forma rigurosa y sistemática. La función básica del cálculo integral, calcular volúmenes y áreas, puede ser remontada al Papiro Egipcio de Moscow (1800 a.C.), en el cual un egipcio trabajó el volumen de un frustum piramidal. Eudoxus (408-355 a.C.) usó el método de la exaustão para calcular áreas y volúmenes. Arquimedes (287-212 a.C.) llevó esa idea además, inventando la heurística , que se aproxima del cálculo integral. El método de la exaustão fue redescoberto en la China por Liu Hui el siglo III, que lo usó para encontrar el área del círculo. El método también fue usado por Zu Chongzhi siglo V, para hallar el volumen de una esfera.
Edad Media
En la Edad Media, el matemático hindú Aryabhata usó la noción infinitesimal en 499 d.J.C. expresándola en un problema de astronomía en la forma de una ecuación diferencial básica. Esa ecuación llevó Bhāskara II el siglo XII a desarrollar una derivada prematura representado un cambio infinitesimal, y él desarrolló también lo que sería una forma primitiva del "Teorema de Rolle".
El siglo XII, el matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi descubrió la derivada de polinomios cúbicos, un resultado importante en el cálculo diferencial. El siglo XIV, Madhava de Sangamagrama, juntamente con otros matemáticos-astrónomos de la Escuela Kerala de Astronomía y Matemática, describió casos especiales de la Serie de Taylor, que en el texto son tratadas como Yuktibhasa.
Edad Moderna
En la Edad Moderna, descubrimientos independientes en el cálculo fueron hechas en el inicio del siglo XVII en el Japón por matemáticos como Seki Kowa, que expandió el método de exaustão. En la Europa , la segunda mitad del siglo XVII fue una época de grandes innovaciones. El Cálculo abrió nuevas oportunidades en la física-matemática de resolver problemas muy antiguos que hasta entonces no habían sido solucionados. Muchos matemáticos contribuyeron para esos descubrimientos, notablemente John Wallis e Isaac Barrow. James Gregory proveu un caso especial del segundo teorema fundamental del cálculo en 1668.
Cupe a Gottfried Wilhelm von Leibniz y la Isaac Newton recoger esas ideas y juntarlas en un cuerpo teórico que vendría a constituir el cálculo. A ambos es atribuida la simultánea e independiente invención del cálculo. Leibnitz fue originalmente acusado de plagiar los trabajos no publicados de Isaac Newton; hoy, sin embargo, es considerado el inventor del cálculo, juntamente con Newton. Históricamente Newton fue el primero a aplicar el cálculo a la física mientras que Leibniz desarrolló la notação utilizada hasta los días de hoy. El argumento histórico para conferir a los dos la invención del cálculo es que ambos llegaron de maneras distinguidas al teorema fundamental del cálculo.
Cuando Newton y Leibniz publicaron sus resultados, hube una gran controversia de cuál matemático (y por lo tanto que país: Inglaterra o Alemania ) merecía el crédito. Newton derivó sus resultados primero, pero Leibniz publicó primero. Newton argumentó que Leibniz robó ideas de sus escritos no publicados, que Newton a la época hube compartido con algunos pocos miembros de la Sociedad Real. Esta controversia dividió los matemáticos ingleses de los matemáticos alemanes por muchos años. Un examen cuidadoso de los escritos de Leibniz y Newton muestra que ambos llegaron a sus resultados independientemente, con Leibniz iniciando con integración y Newton con diferenciação. Los días de hoy se ha que Newton y Leibniz descubrieron el cálculo independientemente. Leibniz, sin embargo, fue quién dio el nombre cálculo a la nueva disciplina, Newton a hube llamado de "La ciencia de los flujos".
Desde el tiempo de Leibniz y Newton, muchos matemáticos contribuyeron para el continuo desarrollo del cálculo.
Edad contemporánea
En la Edad Contemporánea, ya el siglo XIX, el cálculo fue abordado de una forma muy más rigurosa por matemáticos como Cauchy, Riemann y Weierstrass . Fue también durante este periodo que ideas del cálculo fueron generalizadas al espacio euclidiano y al plan complejo. Lebesgue más tarde generalizó la noción de integral.
Principios
Límites e Infinitesimais
Ver artículo principal: El cálculo es comumente utilizado por la manipulación de cantidades muy pequeñas. Históricamente, el primer método de utilizarlo era por las infinitesimais. Estos objetos pueden ser tratados como números que son, de alguna forma, "infinitamente pequeños". En la línea numérica, eso sería locales donde no es cero, pero posee "cero" de distancia de cero. Ningún número diferente de cero es un infinitesimal, porque su distancia de cero es positiva. Cualquier múltiple de un infinitesimal continúa siendo un infinitesimal. En otras palabras, infinitesimais no satisfacen la propiedad Archimediana. De este punto de vista, el cálculo es una colección de técnicas para manipular infinitesimais. Tal pensamiento fue ignorado el siglo XIX porque era muy difícil tener la noción precisa de una infinitesimal. Sin embargo, el concepto fue reutilizado el siglo XX con la introducción del análisis no padronizada, la cual propició fundamentos sólidos para la manipulación de infinitesimais
El siglo XIX, las infinitesimais fueron sustituidas por los límites. Límites describen el valor de una función en un correcto punto en términos de los valores de puntos próximos. Ellos capturan el comportamiento numérico en baja escala, como en las infinitesimais, pero utilizando números ordinarios. De este punto de vista, calculo es una colección de técnicas para la manipulación de ciertos límites. Las infinitesimais fueron sustituidas por números muy pequeños, y el comportamiento infinitamente pequeño de la función es encontrado por el límite de números cada vez más pequeñas. Límites son fáciles de ser colocados en fundaciones rigurosas y, por ese motivo, son la abordagem normalizada para el cálculo.
Derivadas
El cálculo diferencial es el estudio de la definición, propiedad y aplicaciones de la derivada o desplazamiento de un gráfico. El proceso de encontrar la derivada es llamado "diferenciação". En lenguaje técnico, la derivada es un operador lineal, el cual forma una nueva función a partir de la función original, en que cada punto de la nueva función es el desplazamiento de la función original.
El concepto de derivada es fundamentalmente más avanzado del que los conceptos encontrados en álgebra. En esa materia, los estudiantes aprenden sobre funciones en que el número de entrada genera un número de salida. Por ejemplo, si en el doble de la función es insertado 3, entonces la salida es 6, mientras se la función es cuadrática, y es insertado 3, entonces la salida es 9. Pero en la derivada, la entrada es una función y la salida es otra función. Por ejemplo, si en la derivada es colocada una función cuadrada, entonces la salida es el doble de una función, porque el doble de la función suministra el desplazamiento de la función cuadrática en cualquier punto dado de la función.
Para entender la derivada, los estudiantes necesitan aprender la notação matemática. En la notação matemática, un símbolo común para la derivada de la función es una señal de apóstrofo llamado "línea". Entonces la derivada de f es f ' (f línea). Eso en notação matemática sería escrito así:
-
- Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \begin{align} f(x) &= x^2 \\ f ' (x) &= 2x \end{align}
.
Si la función de entrada es el tiempo, entonces la derivada de esa función es la tasa en que la función es alterada.
Si la función es lineal, o sea, el gráfico de la función es una línea recta, entonces la función puede ser escrita como y = m x + b, donde:
- Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): m= {\mbox{variacao en } y \over \mbox{variacao en } x} = {\Delta y \over{\Delta x}}
.
Esto de la el valor exacto para la variación de la línea recta. Si la función no es una línea recta, entonces la variación en y es dividida por la variación en x, y nodos necesitamos del cálculo para encontrar el valor exacto en cada punto de la función. (Note que y y f (x) son dos notações diferentes para la misma cosa: la salida de la función). Una línea entre dos puntos en una curva es llamado de recta secante. La variación de la recta secante puede ser expresada como:
- Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): m={f(x+h) - f(x)\over{(x+h) - x}}\,
donde las coordenadas del primer punto es (x, f(x)) y h es la distancia horizontal entre los dos puntos.
Para determinar el desplazamiento de la curva, nodos usamos los límites:
- Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \lim_{h \te lo 0}{f(x+h) - f(x)\over{h}}
En un caso particular, nodos encontramos el desplazamiento de la función cuadrática al punto en que la entrada es 3 y la salida es 9 (P.ej.: Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): f(x)=x^2 , entonces Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): f(3)=9 ).
- Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \begin{align} f'(3)&=\lim_{h \te lo 0}{(3+h)^2 - 9\over{h}} \\ &=\lim_{h \te lo 0}{9 + 6h + h^2 - 9\over{h}} \\ &=\lim_{h \te lo 0}{6h + h^2\over{h}} \\ &=\lim_{h \te lo 0}{h(6 + h)\over{h}} \\ &=\lim_{h \te lo 0} (6 + h) \\ &= 6 \end{align}
El desplazamiento de la función cuadrática al punto (3, 9) es 6, es decir, él crece seis veces más rapido en y del que en x y está yendo para la derecha.
Integráis
El Cálculo Integral es el estudio de las definiciones, propiedades, y aplicaciones de dos conceptos relacionados, las integráis indefinidas y las integráis definidas. El proceso de encontrar el valor de una integral es llamado integración. En lenguaje técnico, lo calculo integral estudia dos operadores lineales relacionados.
La integral indefinida es la antiderivada , el proceso inverso de la derivada. F es una integral indefinida de f cuando f es una derivada de F. (El uso de letras mayúsculas y minúsculas para una función y su integral indefinida es común en cálculo.)
La integral definida inserta una función y extrae un número, el cual suministra el área entre el gráfico de la función y el eje de la x. La definición técnica de la integral definida es el límite de la suma de las áreas de los rectángulos, llamada Suma de Riemann.
Un ejemplo motivacional es la distancia (D) viajada un determinado tiempo (t).
- Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \mathrm{D} = \mathrm{V} \cdot \mathrm{t}
Si la velocidad (V) es constante, solamente multiplicación es necesaria, pero si la velocidad varía, entonces necesitamos de un método más poderoso para encontrar la distancia. Un método es la aproximación de la distancia viajada por la división del tiempo en muy más intervalos de tiempo, y entonces multiplicando el tiempo en cada intervalo por una de las velocidades en aquel intervalo, y entonces hacer una Suma de Riemann de las distancias aproximadas viajadas en cada intervalo. La idea básica es que se solamente un pequeño tiempo pasar, entonces la velocidad va a permanecer prácticamente la misma. Sin embargo, una Suma de Riemann solamente de la una aproximación de la distancia viajada. Nodos necesitamos coger el límite de todas las Sumas de Riemann para encontrar la distancia viajada exacta.
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Si f(x) en el diagrama de la izquierda representa la velocidad variando en consonancia con el tiempo, la distancia viajada entre los tiempos representados por a y b es el área de la región oscura s.
Para aproximar el área, un método intuitivo sería dividir en distancias entre a y b en un número de segmentos iguales, la distancia de cada segmento representado por el símbolo ?x. Para cada segmento más pequeño, nodos podemos escoger un valor de la función f(x). Llame el valor h. Entonces el área del rectángulo con la base ?x y altura h da la distancia (tiempo ?x multiplicada por la velocidad h) viajado en aquel segmento. Asociado con cada segmento es el valor medio de la función sobre ella,f(x)=h. La suma de todos los rectángulos datos es una aproximación del área entre el eje y la curva, el cual es una aproximación de la distancia total viajada. Un valor más pequeño para ?x nos dará más rectángulos y, en la mayoría de los casos una mejor aproximación, pero para una respuesta exacta nodos necesitamos hacer el límite en ?x tender a cero.
El símbolo de la integración es Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \int_{\,}^{\,} , una S alargada (que significa "suma"). La integral definida es escrita de la forma:
- Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \int_a^b f(x)\, dx
y faena como "la integral de a hasta b de f -de-x en relación a x ."
La integral indefinida, o antiderivada, es escrita de la forma:
- Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \int f(x)\, dx
.
Desde que la derivada de la función y = x² + C es y ' = 2x (donde C es cualquier constante), entonces:
- Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \int 2x\, dx = x^2 + C
.
Teorema Fundamental del Cálculo
El teorema fundamental del cálculo afirma que la diferenciação y la integración son operaciones inversas. Más precisamente, el teorema conecta los valores de antiderivadas al valor de integráis definidas. Por ser usualmente más fácil computar una antiderivada del que aplicar la definición de una integral definida, el teorema fundamental del cálculo provê una forma práctica de computar integráis definidas. Puede también ser interpretado como una afirmación precisa del hecho que la diferenciação es el inverso de la integración.
ES afirmado por el teorema fundamental del cálculo que: Si una función f es continua en el intervalo [a , b] y si F es una función cuya derivada es f en el intervalo (a , b), entonces
- Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \int_{a ^}{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a).
Además de eso, para cada x en el intervalo (a , b) tenemos que
- Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\, dt = f(x).
Y, su Corolário puede ser transcrito de la siguiente forma:
Considere f una función continua de valores reales definida en un intervalo cerrado [a , b]. Si F es una función tal que
- Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): f(x) = F'(x)\,
para toda x en [a , b]
entonces
- Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): F(x) = \int_a^x f(t) dt + F(a)
y
- Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): f(x) = \frac{d}{dx} \int_a^x f(t) dt
.
Ese descubrimiento, realizada por Newton y Leibniz , que se basaron en los resultados de un trabajo anterior de Isaac Barrow, ejerció un papel llave en la massiva proliferação de resultados analíticos que se siguieron después de sus trabajos queden conocidos. El Teorema fundamental del cálculo provê un método algebraico de computar muchas integráis definidas—sin ejecutar procesos límite—simplemente por encontrar fórmula para antiderivadas.
Aplicaciones
El cálculo es usado en todos los ramos de las ciencias físicas, en la ciencia de la computación, estadística, ingeniería, economía, medicina y en otras áreas siempre que un problema pueda ser modelado matemáticamente y una solución óptima es deseada.
La Física hace uso intensivo del cálculo. Todos los conceptos en la mecánica clásica son interrelacionados por el cálculo. La masa de un objeto de densidad conocida, el momento de inercia de los objetos, así como la energía total de un objeto dentro de un sistema cerrado pueden ser encontrados usando el cálculo. En los sub-campos de la electricidad y magnetismo , el cálculo puede ser usado para encontrar el flujo total de campos eletromagnéticos. Un ejemplo más histórico del uso del cálculo en la física es la segunda ley de Newton que usa la expresión "tasa de variación" que se refiere a la derivada: La tasa de variación del momento de un cuerpo es igual a la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo y en la misma dirección. Hasta la expresión común de la segunda ley de Newton como Fuerza = Masa × Aceleración envuelve el cálculo diferencial porque la aceleración puede ser expresada como la derivada de la velocidad. La teoría del eletromagnetismo de Maxwell y la teoría de la relatividade general de Einstein también son expresas en el lenguaje del cálculo diferencial. La química también usa el cálculo para determinar las variaciones en la velocidad de las reacciones y en el decaimento radioativo.
El cálculo puede ser usado en conjunto con otras disciplinas matemáticas. Por ejemplo, él puede ser usado con el álgebra lineal para encontrar la recta que mejor representa un conjunto de puntos en un dominio.
En la esfera de la medicina, el cálculo puede ser usado para encontrar el ángulo óptimo en la ramificación de los vasos sanguíneos para maximizar la circulación, e incluso determinar el tamaño máximo de moléculas que son capaces de atravesar la membrana plasmática en una determinada situación, normal o inducida, en células.
En la geometría analítica, el estudio de los gráficos de funciones, el cálculo es usado para encontrar puntos máximos y mínimos, la inclinación, concavidade y puntos de inflexión.
En la economía el cálculo permite la determinación del logro máximo suministrando una fórmula para calcular fácilmente tanto el coste marginal en cuanto a renta marginal.
El cálculo puede ser usado para encontrar soluciones aproximadas de ecuaciones, en métodos como el método de Newton, iteración de punto fijo y aproximación lineal. Por ejemplo, naves espaciales usan una variación del método de Euler para aproximar trayectorias curvas en ambientes de caída libre.
Ver también
Listas
- Lista de tópicos básicos en cálculo
- Tabla de derivadas
- Tábua de integráis
- Lista de tópicos en cálculo
- Publicaciones sobre cálculo
Tópicos relacionados
- Régua de cálculo
- Serie
- Cálculo con polinomios
- Geometría diferencial
- Cálculo con múltiples variables
- Análisis no padronizada
- Pre-cálculo (Educación matemática)
- Integral producto
- Cálculo estocástico
Bibliografia
Cálculo Básico
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- Bortolossi, Humberto Jose (2002). Loyola, 1ª edición Cálculo a Varias Variables: Una Introducción a la Teoría de la Optimización ISBN 851502442X
- Spivak, Michael (2003). Ciencia Moderna, 1ª edición Cálculo en Variedades ISBN 8573932252
Libros on-line
- Differential and Integral Calculus vol 1 - Richard Courant (en inglés), cuyos derechos autorais expiraron.
- Differential and Integral Calculus vol 2 - Richard Courant (en inglés), cuyos derechos autorais expiraron.
- MATHEMATICA EN La ENSEÑANZA DE CÁLCULO: Una Abordagem Computacional por el prof. Inder Jeet Taneja de la UFSC (en portugués)
- Cálculo Diferencial a Varias Variables:Una Introducción a la Teoría de Optimización (en portugués)
- CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EN La RECTA - Notas de Aula por el prof. Plácido Z. Táboas del ICMC-USP de Son Carlos (en portugués)
- Ejercicios de Cálculo Diferencial e Integral de Funciones Definidas en Rn (en portugués)
- Análisis Matemático III (en portugués), entrada nº 12, o Análisis Matemático III (en portugués), preferirse link directo para este libro del prof. António Caetano de la Universidad de Aveiro.
Páginas en internet
- Curso de cálculo on-line de la USP (en portugués)
- Kit de supervivencia en Cálculo" del departamento de Matemática de la UEM (en portugués)
- Materiales de aula del IMECC-UNICAMP (en portugués)
- Cálculo con el Mathematica (en portugués)
- Cálculo Infinitesimal: lo que es eso? (en portugués)
- Material para Cálculo I por los profesores Fernando Guerra e Inder Jeet Taneja de la UFSC (en portugués)
