Axioma

Axioma

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 Nota: Para otros significados de Axioma, vea Axioma (desambiguação).

Un axioma es una sentencia o proposición que no es probada o demostrada y es considerada como obvia o como un consenso inicial necesario para la construcción o aceptación de una teoría. Por esa razón, es acepto como verdad y sirve como punto inicial para deducción e inferencias de otras verdades (dependientes de teoría).

En la matemática , un axioma es una hipótesis inicial de cual otros enunciados son lógicamente derivados. Puede ser una sentencia, una proposición, un enunciado o una regla que permite la construcción de un sistema formal. Diferentemente de teoremas , axiomas no pueden ser derivados por principios de deducción y ni son demostrabais por derivaciones formales, simplemente porque ellos son hipótesis iniciales. Es decir, no hay más nada a partir del que ellos siguen lógicamente (en de lo contrario ellos serían llamados teoremas). En muchos contextos, "axioma", "postulado" y "hipótesis" son usados como sinônimos.

Como fue visto en la definición, un axioma no es necesariamente una verdad auto-evidente, pero sólo una expresión lógica formal usada en una deducción, visando obtener resultados más fácilmente. Axiomatizar un sistema es mostrar que sus inferencias pueden ser derivadas a partir de un pequeño y bien-definido conjunto de sentencias. Esto no significa que ellas puedan ser conocidas independientemente, y típicamente existen múltiples medios para axiomatizar un dato sistema (como la aritmética). La matemática distingue dos tipos de axiomas: axiomas lógicos y axiomas no-lógicos.

En las teorías de las ciencias naturales, un axioma es considerado una verdad evidente que y es acepta como tal pero que al rigor de la palabra no puede ser demostrado o probado una verdad absoluta dentro del dominio de su aplicación; es generalmente derivado de intuição o de conocimiento empírico, los cuales se apoyan en todos los hechos científicos hasta entonces conocidos y relevantes al área en estudio. La viabilidade o utilidad de tales teorías, y la clasificación de las mismas como teorías científicas válidas o ya aprimoradas, todas siempre lógicamente derivadas de forma correcta de sus premissas (de los axiomas), dependen de las elecciones acuradas de sus axiomas y de la corroboração de los mismos frente a los hechos científicos conocidos en la época en que fueron propuestos, y frente a los que sean gradualmente descubiertos en épocas futuras a sus proposiciones. Hechos nuevos, al sean descubiertos, pueden llevar a la evolución de las teorías mediante necesidad explicita de modificaciones en sus axiomas, que, conforme propuestos en el paradigma científico evolucionado y ora válido, deben mantenerse siempre corroborados por la íntegra de los hechos científicos conocidos hasta la fecha en cuestión.

En la ingeniería, axiomas son aceitos sin pruebas formales y sus elecciones son negociadas a partir del punto de vista utilitário y económico. Pueden también ser considerados como hipótesis en el modelado y cambiados tras la validación de la plantilla.

Declaraciones explícitas de axiomas es una condición necesaria para la computabilidade de una teoría, plantilla o método. En este caso, el axioma puede ser visto como un concepto relativo dependiente de dominio, por ejemplo, en cada programa de software, declaraciones iniciales pueden ser consideradas como sus axiomas locales.

Etimologia

ES considerado calculos sin fundamento que son usados para diversão .Los matematicos que se dedicaron a eso fueron considerados locos , y tuvieron problemas , muchos quitaron su propia vida

Desarrollo Histórico

Visión Clásica

El método lógico-dedutivo clásico consistía en sistemas a partir de los cuales premissas eran seguidas de conclusiones a través de la aplicación de argumentos (silogismos, reglas de inferencia). Con la salvedad de las tautologias, nada puede ser deducido si nada es asumido. Axiomas y postulados son hipótesis básicas subyacentes a un cuerpo de conocimiento dedutivo. Son aceitos sin demostración. Todas las otras asserções (teoremas, si estuviéramos hablando sobre matemática) deben ser demostradas con el auxílio de hipótesis básicas. Sin embargo, la interpretación del conocimiento matemático cambió de los tiempos antiguos para el moderno, y consecuentemente los términos axioma y postulado tuvieron una leve diferencia de significado para los matemáticos actuales, en contraste con el significado original de estos términos para Aristóteles y Euclides .

Los antiguos griegos consideraron la geometría como una de las diversas ciencias, y consideraron los teoremas de geometría tan importantes cuánto hechos científicos. De esa forma, ellos desarrollaron y usaron el método lógico-dedutivo como un medio de evitar errores, y para conocimiento estructural y comunicativo. Los analíticos posteriores de Aristóteles es una exposición definitiva de la visión clásica.

Un "axioma", en la terminologia clásica, se refiere a una hipótesis auto-evidente común a varios ramos de ciencia. Un buen ejemplo sería la asserção que

Cuando es retirada una de dos cuantías iguales, sobra una cuantía igual a que fue retirada.

En la fundación de varias ciencias son impuestas ciertas hipótesis adicionales que son aceptas sin demostración. Estas eran denominadas postulados. Mientras los axiomas eran comunes a varias ciencias, los postulados para cada ciencia particular eran diferentes. Su validez tenía que ser establecida por medio de experiencias reales. De hecho, Aristóteles alertó que la satisfabilidade de una ciencia no puede ser transmitida con éxito, si el aprendiz esté en duda sobre la veracidade de los postulados.

La visión clásica es bien ilustrada por los elementos de Euclides, donde una lista de axiomas (muy básicas, asserções auto-evidentes) y postulados (hechos geométricos del senso-común obtenidos de nuestra experiencia), son dados.

• Axioma 1: Dos cosas iguales a una tercera, son iguales entre sí.
• Axioma 2: Si parcelas iguales sean añadidas la cuantías iguales, los resultados continuarán siendo iguales.
• Axioma 3: Si cuantías iguales sean subtraídas de las mismas cuantías, los restos serán iguales.
• Axioma 4: Lo todo es mayor que la parte.

• Postulado 1: Una recta puede ser trazada de un punto para otro cualquiera.
• Postulado 2: Cualquier segmento finito de recta puede ser prolongado indefinidamente para construir una recta.
• Postulado 3: Datos un punto cualquiera y una distancia cualquiera, se puede trazar un círculo de centro en aquel punto y rayo igual a la dada distancia.
• Postulado 4: Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
• Postulado 5: Si una recta corte dos otras rectas de modo que la suma de los dos ángulos interiores, de un mismo lado, sea menor que dos ángulos rectos, entonces las dos otras rectas se cruzan, cuando suficientemente prolongadas, del lado de la primera recta en que se hallan los dos ángulos.

Visión Moderna

Una lección aprendida por la matemática en los últimos 150 años es que es útil descifrar el significado de las asserções matemáticas (axiomas, postulados, proposiciones, teoremas) y definiciones. Esta abstracción, que podría hasta ser llamada de formalização, hace el conocimiento matemático más genérico, capaz de múltiples diferentes significados y, por lo tanto, útil en múltiples contextos.

El estruturalismo matemático va más adelante, y desarrolla teorías y axiomas sin una aplicación particular en mente. La distinción entre un "axioma" y un "postulado" desaparece. Los postulados de Euclides son probablemente considerados por suministrar una rica colección de hechos geométricos. La verdad de esos hechos complicados está en la aceptación de hipótesis básicas. Sin embargo, excluyendo el quinto postulado de Euclides, obtenemos que estos poseen significados en diversos contextos (geometría hiperbólica, por ejemplo). Debemos simplemente estar preparados para usar nombres como "línea" y "paralelo" con una mayor flexibilidad. El desarrollo de la geometría hiperbólica enseñó a los matemáticos que postulados pueden ser considerados como hipótesis puramente formales, y no como hechos basados en la experiencia.

Cuando matemáticos emplean los axiomas de un campo, las intenciones son más abstractas. Las proposiciones de la teoría de campos no interesan a otra aplicación en particular. Los matemáticos ahora trabajan en completa abstracción. Hay muchos ejemplos de campos. La teoría de campos garantiza que el conocimiento sobre ellos es correcto.

No es correcto decir que los axiomas o la teoría de campos son "proposiciones que son consideradas como verdad sin ninguna derivación". El campo de axiomas es un conjunto de restricciones. Si un dato sistema de adición y multiplicación satisface estas restricciones, entonces el campo está pronto para darnos informaciones extras sobre ese sistema.

La matemática moderna formaliza sus fundamentos de tal modo que las teorías pueden ser consideradas objetos matemáticos, y la lógica por sí sólo puede ser considerada como un ramo de la matemática. Frege, Russell, Poincaré, Hilbert y Gödel son personajes-llave en ese desarrollo.

En la visión moderna, un conjunto de axiomas es una colección de asserções formalmente estables de las cuales se siguen otras asserções formales estables por la aplicación de ciertas reglas bien-definidas. En esta visión, la lógica se hace sólo un otro sistema formal. Un conjunto de axiomas debe ser consistente, o sea, debe ser imposible derivar una contradicción de un axioma. Un conjunto de axiomas no debe ser redundante, es decir, una asserção que puede ser deducida de otros axiomas no necesita ser considerada un axioma.

La esperanza de los lógicos modernos era que varios ramos de la matemática, sino todos, pudieran ser derivados de una colección consistente de axiomas básicos. Un éxito del programa formalista fue la formalização de Hilbert de la Geometría Euclidiana y la demostración de la consistencia de estos axiomas.

Ampliando el contexto, hube una tentativa de basar toda la matemática en la teoría de los conjuntos de Georg Cantante. En este punto, llevando en consideración la Paradoja de Russell y la teoría ingenua de los conjuntos se vio la posibilidad de algún sistema poder hacerse inconsistente.

El proyecto formalista sufrió una derrota decisiva, cuando en 1931 Gödel mostró que es posible, para un suficientemente grande conjunto de axiomas (Axiomas de Peano, por ejemplo), construir una hipótesis que sea verdadera independientemente de este conjunto de axiomas. Como corolário, Gödel probó que la consistencia de una teoría como la Aritmética de Peano es una asserção improvable dentro del escopo de esta teoría.

ES razonable creer en la consistencia de la Aritmética de Peano porque ella es satisfecha por el sistema de números naturales, un infinito pero intuitivamente accesible sistema formal. Sin embargo, hasta hoy, no hay un modo conocido de demostrar la consistencia de los modernos axiomas de Zermelo-Frankel para la teoría de los conjuntos. El axioma de la elección, una hipótesis-llave de esta teoría, permanece una hipótesis muy controversa. Además de eso, usando técnicas de forzar (Cohen), se puede mostrar que las hipótesis continuas (Cantante) es independiente de los axiomas de Zermelo-Fraenkel. De esta forma, aún este conjunto genérico de axiomas no puede ser considerado como una base definitiva para la matemática.

Lógica Matemática

Axiomas Lógicos

Axiomas Lógicos son fórmulas en un lenguaje que es universalmente válida, o sea, son fórmulas satisfechas por toda la estructura bajo toda función de tarea de variables. En otros términos, axiomas lógicos son estados que son verdaderos en algún posible universo, para alguna possivel interpretación y con alguna tarea de valor. Normalmente ellos usan axiomas lógicos para un mínimo conjunto de tautologias que es suficiente para probar todas las tautologias en el lenguaje; en la lógica de primera orden el axioma lógico es necesario para probar verdades lógicas que no son tautologias en el sentido rígido.

Ejemplos

Lógica Proposicional

En la lógica proposicional es común considerar como axiomas lógicos las fórmulas a continuación, donde Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \phi ,Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \psi

y Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \chi
pueden ser cualquier fórmula de lenguaje y los conectivos permitidos son sólo "Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \neg

" para negação y "Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \te lo " para implicação (antecedente para consecuente):

1. Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \phi \te lo (\psi \te lo \phi)

1. Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): (\phi \te lo (\psi \te lo \chi)) \te lo ((\phi \te lo \psi) \te lo (\phi \te lo \chi))

1. Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): (\lnot \phi \te lo \lnot \psi) \te lo (\psi \te lo \phi)

Cada uno de esos ejemplos es un axioma esquemático, una regla para generalizar un infinito números de axiomas. por ejemplo, se Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): A , Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): B

y Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): C
son variables proposicionais, entonces Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): A \te lo (B \te lo A)
y Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): (A \te lo \lnot B) \te lo (C \te lo (A \te lo \lnot B))
son ambos ejemplares del primer axioma esquemático, y por lo tanto son axiomas. Podemos mostrar que con sólo esos tres axiomas esquemáticos y modus ponens, se puede probar todas las tautologias del cálculo proposicional. Y puede mostrar también que sin unir esos axiomas no será suficiente para probar todas las tautologias con modus ponens.

Estos axiomas esquemáticos son también usados en el cálculo de predicados, pero añadir axiomas lógicos es necesario.

un lenguaje de primera orden. para cada variable Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): x\,

Esto quiere decir que, para algún simbolo de variable Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): x\, , la fórmula Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): x = x\,

puede ser dicha como un axioma. Además de eso, en este ejemplo, para que no haya impresición del que nodos entendemos por Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): x = x\,

(o, en otras palabras, "es igual a") debe estar puramente formal y sintaticamente usável por el simbolo Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): =\,

que debe estar bien reforzado, acerca de ellos como una secuencia y como una secuencia de símbolos, la lógica matemática hace de hecho esto.

Vale acordar que el más interesante ejemplo de axioma esquemático, es aquel que nos determina lo que conocemos como instanciação universal:

en el lenguaje de primera orden Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \mathfrak{L}\,

y un término Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): t\,
que es substituível para Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): x\,
en Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \phi\,

donde el simbolo Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \phi^x_t

significa la fórmula Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \phi\,
con el término Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): t\,
sustituido por Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): x\,

. En términos formales, este ejemplo nos permite decir que para este estado, si nodos sepamos que una correcta propiedad Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): P\,

posee para todo Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): x\,
y que Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): t\,
estar para un objeto particular en nuestra estructura, entonces nodos estariamos capaces para afirmar Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): P(t)\,

. Más una vez, nodos podemos afirmar que la fórmula Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \forall x \phi \te lo \phi^x_t

es válida, es decir, nodos podemos ser capaces de tener una prueba de este hecho, o mejor hablando, una meta prueba. actualmente, estos ejemplos son meta teoremas de nuestra teoría de la lógica matemática desde que estemos relacionados con el más conceptos de auto prueba. A partir de esto, nodos podemos tener la generalización del existencial:

en el lenguaje de primera orden Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \mathfrak{L}\,

y un término Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): t\,
que es substituível para Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): x\,
en Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \phi\,

Axiomas No-lógicos

Axiomas no-lógicos son fórmulas que usan la función de hipótesis de teorías especificadas. En razón sobre dos diferentes estructuras, por ejemplo los números naturales y los integráis, pueden envolver el mismo axioma lógico; los axiomas no-lógicos visan capturar lo que es especial sobre una estructura particular(o conjunto de estructuras, como los grupos). De ese modo los axiomas no-lógicos, diferentemente de los axiomas lógicos, no son tautologias. Otro nombre para un axioma no-lógico es postulado.

Casi toda la teoría de la matemática moderna inició de un dato conjunto de axiomas no-lógicos, y ellos eran imaginados como un principio que toda teoría puede ser axiomatizada en este camino y formalizada por un lenguaje vacío de fórmulas lógicas. Esto se hizo imposible y probó ser totalmente una historia; Así recientemente esta aproximación retornó en la forma de neologismo.

Axiomas no-lógicos son frecuentemente simples referencias para los axiomas en la matemática dissertativa. Esto no significa que ellos son verdades en su sentido absoluto. Por ejemplo, en algunos grupos, el grupo operación es comutativo, y este puede ser declarado con la introducción de un axioma adicional, pero sin este axioma nodos podemos realmente hacer un buen desarrollo de la teoría de grupo, y nodos podemos siempre tener las negações como un axioma para el estudio de grupos no-comutativos.

De este modo, un axioma es una base elemental para un sistema de lógica formal que junto con las reglas de inferencia define un sistema dedutivo.

Ejemplos

Esta sesión tiene ejemplos de teoría matemáticas que son desarrollados por un conjunto de axiomas no-lógicos. Un riguroso tratamiento de algunos de estos tópicos comenzó con una especificación de estos axiomas.

Teorías básicas, así como aritmética, analice reales y analices complejas son muchas veces introducidas como no-axiomatizáveis, pero implícitamente o explícitamente existe generalmente una hipótesis que los axiomas utilizados son los axiomas de la teoría de los conjuntos de Zermelo-Fraenkel como opción, o algunos sistemas más similares de la teoría de los conjuntos axiomatizados, más frecuentemente teoría de los conjuntos de Von-Neumann-Bernays-Godel. Es decir una extensión conservativa del de Zermelo, con teoremas idénticos sobre conjuntos, y por lo tanto casi relatados. algunas veces teorías como la teoría de los conjuntos de Morse-Kelley o teoría de los conjuntos con un cardinal inacessível permitir el uso de un universo Grothendieck son usados, pero de hecho más matemáticos pueden probar todas las necesidades de un sistema cuanto el Zermelo, así como la aritmética de segunda orden.

Geometría así como la Geometría de Euclides, geometría projetiva, geometría simplista. Interesantemente uno de los resultados de la quinto axioma euclideano estar un axioma no-lógico es aquel que tres ángulos de un triangulo se suma 180º. solamente sobre la protección de la geometría euclideana esto será verdad.

Aritmética

El axioma de Peano es el más usado en axiomatização de aritmética de primera orden. ellos son un conjunto de axiomas fuertes el suficiente para probar algunos importantes hechos sobre teoría de los números y ellos permiten que Godel estabilice su famosa segunda teoría de la incompletude.

Nodos tenemos un lenguaje Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \mathfrak{L}_{NT} = \{0, S\}\,

donde Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 0\,
es una constante y Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): S\,
es una función unitaria y es seguida de los axiomas:

1. Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \forall x. \lnot (Sx = 0)

1. Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \forall x. \forall y. (Sx = Sy \te lo x = y)

1. Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): ((\phi(0) \land \forall x.\,(\phi(x) \te lo \phi(Sx))) \te lo \forall x.\phi(x)

para alguna formula Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \mathfrak{L}_{NT}\,

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \phi\,
con una variable libre.

La estructura normalizada es Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \mathfrak{N} = \langle\N, 0, S\rangle\,

donde Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \N\,
es el conjunto de los números naturales, Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): S\,
es la función sucesora y Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): 0\,
es interpretado como el numero 0.

Geometría euclidiana

Probablemente de más antigua y más famosa lista de axiomas son los 4 + 1 postulados de Euclides de la geometría plana. Los axiomas son dichos como "4 + 1" pues alrededor de dos milenios el quinto postulado era cuestionable por ser una derivación de los cuatro primeros. Últimamente, el quinto postulado fue considerado independiente de los otros cuatro. A buen seguro, él puede asumir que no existen paralelas a través de un punto externo a una línea existente, o que infinitamente algunos existen. Estas opciones nos dan formas alternativas de geometría en que los ángulos internos de un triángulo sumados con el menor de ellos, exactamente, o más que uno línea correcta respectivamente y es conocida como geometrías hiperbólicas, elipticas y euclidianas.

Análisis reales

El objetivo de estudio es los números reales. Los números reales son de cierta forma escogidos por las propiedades de un cuerpo ordenado completo (un cuerpo ordenado completo es un cuerpo ordenado cuyos subconjuntos no vacíos que poseen cuota superior o elemento majorante admite un elemento marojante mínimo, llamado supremo). Entonces, expresando estas propiedades como axiomas tendremos que usar la lógica de segunda orden. El teorema de Lowenheim-Skolem nos dice que si nodos restringimos para la lógica de primera orden, algunos sistemas axiomáticos para los permisos reales en otras plantillas, incluyendo ambos plantillas que son más pequeñas y mayores que los reales. Algunos de los segundos son estudiados en los análisis no padronizadas.

Papel en la lógica matemática

Sistema dedutivo y completude

Un sistema dedutivo consiste, de un grupo Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \Lambda\,

de axiomas lógicos, un conjunto Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \Sigma\,
de axiomas no-lógicos, y un conjunto Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \{(\Gamma, \phi)\}\,
de reglas de inferencia. Una propiedad deseable de un sistema dedutivo es que él sea completo. Un sistema es dicho ser completo si, para todas las fórmulas 

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \phi ,

entonces Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \Sigma \vdash \phi

significa que para algunos estados que la consecuencia lógica de Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \Sigma\,

existe actualmente una deducción del estado de Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \Sigma\,

. es decir, algunas veces, expresados como "todo que es verdadero es probado", pero él puede ser entendido como "verdad" aquí significa "se hizo verdad por el conjunto de axiomas", y no, por ejemplo, "verdad en la interpretación pretendida". El teorema de la completude de Godel estabiliza la completude de un correcto comumente usado tipo de sistema dedutivo.

Note que "completude" tiene un diferente significado aquí, entonces en el contexto del primero teorema de la incompletude de Godel, el cual estados no recursivos, conjuntos consistentes de axiomas no-lógicos Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \Sigma\,

de la teoría de la aritmética es completa, En el sentido que  siempre existe un estado aritmético Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \phi\,
tal que ninguno Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \phi\,
ni Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \lnot\phi\,
puede ser probado de un dato conjunto de axiomas.

Existe de esa forma, de un lado, la noción de la completude de un sistema dedutivo y del otro tenemos la completude de los conjuntos de axiomas no-lógicos. la teoría de la completude y la teoría de la incompletude, la despeito de sus nombres, no contradice el otro.

Ver también

El Wikilivros tiene un libro llamado Lógica

• Regla de Inferencia
• Lista de Reglas de Inferencia
• Axioma Esquemático

Conexiones externas

• Axiom
• Planet Math

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