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Índice de Shannon

índice de shannon - Wikilingue - Encydia

El índice de Shannon (también llamado de índice Shannon-Weaver o de índice del Shannon-Wiener) Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): H^{\prime}

es uno de los diversos índices de la diversidad usados para medir la diversidad  en datos categóricos. ES simplemente la información entropica de la distribución, tratamiento las especies como símbolos y el tamaños de la respectiva población como una probabilidad.

Este artículo trata su utilización para medir la biodiversidad. La ventaja de este índice es que él lleva en consideración el número de las especies y la especies dominantes. El índice es incrementado, quiere por haber añadido una única especie, o por tener una importante equitatividade.

El nombre "Shannon-Weaver" es una contracción imprópria; aparentemente algunos biólogos concluiram erradamente que Warren Weaver, autor de un influyente prefácio del libro formulardo[1] por Claude Shannon publicado en 1948 papel [2] fundador de la teoría de la información, era una Cofundador de esta teoría. Weaver tuvo un papel crucial en el rápida desarrollo de la teoría información, en el polvos guerra, de un modo diferente, sin embargo, como un influyente administrador de la Fundación Rockefeller, él garantizó que la primera puclicações teóricos recebecem generosas donaciones para la investigación. Norbert Wiener no tenía en mano se quiere el índice, aunque suya influéncia sea popular en la cibernética era frecuentemente relacionado la teoría de la información en la década de 1950.

Tabla de contenido

Definiciones

El número de los individuos en cada especie; la abundancia de cada especie.
El número de especies. Llamado también de riqueza . 
El número total de todos los individuos: Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \sum_{i=1}^S n_i
La abundancia relativa de cada especie, calculada por la proporción de los individuos de una especie por el número total de los individuos en la comunidad: Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): n_i\over N


Calculando el índice

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): H^\prime = -\sum_{i=1}^S p_i \ln p_i


Aplicando el cálculo, que puede ser demostrado para uno cualquier dato número de especies, donde hay un máximo posible Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): H^\prime , Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): H_\max=\ln S

el cual ocurre cuando todas las especies que estam presentes ocurren en igual número.

La prueba de que máximo igualdad maximiza el índice.

El resultado va a probar que una determinada población tendrá un Índice Shannon máximo se y solamente se cada especie representada es compuesta por el mismo número de individuos

Expandiendo el índice:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): H^\prime = -\sum_{i=1}^S {n_i\over N} \ln {n_i\over N}


Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): N H^\prime = -\sum_{i=1}^S n_i \left ( \ln n_i - \ln N \right ) = -\sum_{i=1}^S n_i \ln n_i + \ln N \sum_{i=1}^S n_i


Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): N H^\prime - N \ln N = -\sum_{i=1}^S n_i \ln n_i


Ahora, vamos a definir Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): H_s = -\sum_{i=1}^S n_i \ln n_i

Como es evidente, desde que Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): N
sea una constante positiva de un determinado tamaño poblacional, y Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): N\ln N
también es una constante, entonces la máximação Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): H_s
equivale la máximação Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): H^\prime

.

Estrategia

Vamos a dividir arbitrariamente una población de un determinado tamaño en dos grupos, con cada grupo que recibe un número arbitrario de individuos y un número arbitrario de especies. Ahora, dentro de cada grupo, cada especie tiene el mismo número de los individuos que otras especies del grupo, pero el número de los individuos por especies en el primer grupo puede ser diferentes del número de los individuos por especies en el segundo grupo.

Ahora, si se pudiera probar que Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): H_s

alcanza el punto máximo cuando el número de los individuos por especies en el primer grupo combina el número de los individuos por especies en el segundo grupo, se ha probado entonces que la población tiene un índice máximo solamente cuando cada especie en la población es representada uniformente. Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): H_s
no depende de la población total. 

Así Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): H_s

puede ser construido simplemente sumando los índices de dos subpopulações. Desde que el tamaño de la población es arbitrario, esto prueba que se usted tenga dos especies (el número el menor que puede ser considerado dos grupos), su índice es maximizado se estén presente en iguales números. Las régras de la Inducción matemática fueron así satisfechas.

Firmeza

Ahora, dividí-si las especies en dos grupos. Dentro de cada grupo, la población es distribuida uniformente entre las especie presente.

El número de los individuos en el segundo grupo.
El número de especie en el segundo grupo.
Número de los individuos en cada especie en el segundo grupo.
El número de los individuos en el primer grupo.
Las especies en el primer grupo.
Los individuos en cada especie en el primer grupo.
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): H_s = -\sum_{i=1}^{S-p} {N-k \over S-p} \ln {N-k \over S-p} - \sum_{i=1}^p {k\over p} \ln {k \over p} = -\left ( N-k \right ) \ln {N-k \over S-p} - k \ln {k\over p}.


Para descubrir el valor de Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): k

maximiza Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): H_s

, nodos debemos encontrar el valor de Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): k

que satisfaga a la ecuación:
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): {d\over dk}\, H_s=0.


Diferenciação,

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \ln { N-k \over S-p} + (N-k){1 \over N-k} - \ln {k\over p} - k {1 \over k} = 0,


Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): \ln {N-k\over S-p} = \ln {k \over p}


Exponenciação:

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): {N-k\over S-p} = {k \over p} = {pN \over S}.


Ahora aplicando las definiciones de Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): N_{i1}

y de Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): N_{i2}

, nodos obtenemos

Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): N_{i1} = N_{i2} = {N\over S}.


Resultado

Ahora nodos hemos realizada la prueba que el índice del Shannon-Wiener maximizado cuando cada especie presente está en números iguales (ver #Estrategia). Pero que es el índice es ese caso? Bien, Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): n_i = {N\over S} , así Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): p_i = {1\over S}

consecuentemente:
Falló al verificar gramática (El ejecutable texvc no fue encontrado. Consulte math/README para instrucciones de la configuración.): H_\max = - \sum_{i=1}^S {1\over S} \ln {1\over S} = \ln S.


Referencias

  1. Weaver, W.. The Mathematical Theory of Communication.  Urbana, Illinois: 
  2. Shannon, C.Y. (July and October 1948). "La mathematical theory of communication". Bell System Technical Journal 27: 379-423 and 623-656.

Shannon, C. Y., and W. Weaver. 1949. The Mathematical Theory of Communication. Urbana, University of Illinois Press, 117 pp.

Conexiones externas