Fractale

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Un ejemplo de fractales.

Se nombra figura fractale o "fractale" por substantivation del adjetivo (o todavía inglés fractal), una curva o superficie de forma irregular o morcelée que se crea que sigue reglas déterministes o stochastiques que implican una homothétie interna. El término « fractale » es un néologisme creado por Benoît Mandelbrot 1974^[1] a marchar de la raíz latina fractus, que significa roto, irregular (fractales n.F). En la teoría de la rugosité » desarrollada por Mandelbrot, una fractale designa objetos cuya estructura es ligada en la escalera.

Este término estaba en la salida un adjetivo : los objetos fractals (según un plural formado sobre el ejemplo de "astilleros"). Los fractales son definidas de manera paradójica, en referencia en las estructuras gigognes cuyas constituyen casos particulares : « Los objetos fractals pueden ser considerados como de las estructuras gigognes enteramente –y no sólo uno cierto número de puntos, los attracteurs de la estructura gigogne clásica. Esta concepción hologigogne (gigogne enteramente) de las fractales implica esta definición tautologique : un objeto fractal es un objeto cuyo cada elemento es también un objeto fractal »^[2]. A pesar de las apariencias, este tipo de definiciones de naturaleza récursive no es sólo teórica pero puede implicar también conceptos usuels : un ancestro es un pariente o un ancestro de un pariente, un múltiplo es un compuesto de un número o de un múltiplo de este número, una escalera comienza o prolonga una escalera, una dynastie inaugura o prolonga una dynastie, etc.

Característicos

Construcción animada : curva de von Koch

Un objeto fractal posee al menos lo una de las características siguientes :

Tiene detalles similares a escaleras arbitrairement pequeñas o grandes ;
Es demasiado irregular para ser descrito eficazmente en términos geométricos tradicionales ;
Es exactamente o estadísticamente autosimilaire, es decir que lo todo es parecido a una de sus partes ;
Su dimensión de Hausdorff es estrictamente superior a su dimensión topologique. Para expresar la cosa de otro modo, una cobertura de irrigación es un despliegue de líneas (« 1D ») que ofrece características que comienzan a evocar una superficie (« 2d »). La superficie del pulmón (« 2d ») es replegada en un tipo de volumen (« 3D »). De modo imagée, los fractales se caracterizan por un tipo de dimensión no-entera.

Propiedades de validez

Las figuras fractales no han a satisfacer todas las propiedades mencionadas aquí-encima para servir modelos. Les basta de realizar aproximaciones convenientes de lo que interesa en una propiedad de validez dada (el libro fundador de Mandelbrot Los Objetos fractals da una gran variedad de ejemplos). El tamaño de los alvéoles del pulmón, por ejemplo, tamaño a marchar de la cual éste cesa de se subdiviser de modo fractale, es ligada en el tamaño del libre recorrido mediano de la molécula de oxígeno a temperatura del cuerpo.

La dimensión utilizada es aquella de Hausdorff, y se observa que corresponde a una característica nueva de las superficies irregulares. Se connait las playas de validez de las dimensiones de Hausdorff observadas sobre Tierra para las montañas, las nubes, etc.

De los ejemplos de figuras fractales son proporcionados por los conjuntos de Julia y de Mandelbrot , la fractale de Lyapunov, el conjunto de Cantor, la alfombra de Sierpinski, el triángulo de Sierpinski, la curva de Peano o el flocon de Koch. Las figuras fractales pueden estar de las fractales déterministes o stochastiques. Aparecen a menudo en el estudio de los sistemas caóticos.

Las figuras fractales pueden ser repartidas tres grandes categorías :

Los sistemas de funciones itérées. Éstos tienen una regla de sustitución geométrica fija (el conjunto de Cantor, la alfombra de Sierpinski, el triángulo de Sierpinski, la curva de Peano, el flocon de Koch) ;
Los fractales definidas por una relación de récurrence en cada punto en un espacio (como el plan complejo). De los ejemplos de este tipo son los conjuntos de Mandelbrot y la fractale de Lyapunov ;
Los fractales aleatorios, generadas por procesos stochastiques y no déterministes, por ejemplos los paisajes fractals.

De todas estas figuras fractales, solas aquellas construidas por sistemas de funciones itérés anuncian habitualmente la propiedad de autosimilitude, que significa que su complejidad es invariante por cambio de escalera.

Los fractales aleatorios son los más utilizadas en la práctica, y pueden servir a describir numerosos objetos extremadamente irregulares del mundo real. Los ejemplos incluent de las nubes, las montañas, las turbulences de líquido, las líneas de las costas y los árboles. Los técnicos fractales han sido también utilizadas en la compresión de imagen fractale, al igual que en muchas disciplinas científicas.

Dimensión fractale

Juntos de Julia

La dimensión de una recta, de un círculo y de una curva regular es de 1. Una vez fijado un origen y un sentido, cada punto de la curva puede ser determinada por un número, que define la distancia entre el origen y el punto. El número es tomado negativamente se hace falta desplazarse en el sentido opuesto a aquel escogido a la salida.

La dimensión de una figura mera en el plan es de 2. Una vez uno ficha definido, cada punto de la figura puede ser determinada por dos números. La dimensión de un cuerpo mero en el espacio es de 3.

Una figura tal que una fractale no es mera. Su dimensión ya no es también fácil a definir y ya no es obligatoriamente entera. La dimensión fractale, más compleja, se expresa en la ayuda de la dimensión de Hausdorff.

Cuando la fractale es formada réplicas de ella-misma además pequeño, su dimensión fractale puede calcularse como sigue :

$d = \frac{\ln(n)}{\ln(h)}$

Donde la fractale de salida es formada ejemplares cuyo tamaño ha sido reducido de un factor $h$ (para homothétie).

Algunos ejemplos :

Un lado del flocon de Koch es formado ejemplares de le-mismo reducido de un factor $h = 3$ . Su dimensión fractale vale :

$d= \frac{\ln(4)}{\ln(3)} \simeq 1,2618595...$

El triángulo de Sierpinski es formado ejemplares de le-mismo reducido de un factor $h = 2$ . Su dimensión fractale vale :

$d= \frac{\ln(3)}{\ln(2)} \simeq 1,5849625...$

La alfombra de Sierpinski es formado ejemplares de le-mismo reducido de un factor $h = 3$ . Su dimensión fractale vale :

$d= \frac{\ln(8)}{\ln(3)} \simeq 1,892789...$

Una lista mucho más larga se encuentra bajo : Lista de fractales por dimensión de Hausdorff.

Objetos fractals en la naturaleza

La col romanesco, un ejemplo de fractale natural

Una fougère fractale modélisée utilizando un sistema de funciones itérées.

De las formas fractales approximatives son fácilmente observables en la naturaleza. Estos objetos tienen una estructura autosimilaire sobre una escalera extensa, pero acabada : las nubes, las flocons de nieve, las montañas, las coberturas de ríos, la col-flor o el brocoli, y los vaisseaux sanguíneos.

Los árboles y los fougères están de naturaleza fractale y pueden seres modélisés por computador en la ayuda de algorithme récursif como las L-Systems. La naturaleza récursive es evidente en estos ejemplos ; la rama de un árbol o la fronde de una fougère son réplicas miniaturas del conjunto : no idénticos, pero de naturaleza similar.

La superficie de una montaña puede ser modélisée sobre computadora que utiliza una fractale : tomemos un triángulo en un espacio tridimensionnel cuyo nosotros connectons los medios de cada lado por segmentos, resulta cuatro triángulos. Los puntos centrales son desplazados luego aléatoirement hacia la altura o el bajo, en un rayo definido. El procedimiento es repetida, disminuyendo el rayo de mitad a cada itération. La naturaleza récursive de la algorithme garantiza que lo todo es estadísticamente similar a cada detalle.

Finalmente, ciertos astrophysiciens han remarcado similitudes en el reparto de la materia enel Universo en seis escaleras diferentes. Los derrumbamientos sucesivos de nubes interstellaires, debidos a la gravedad, serían en el origen de esta estructura (parcialmente) fractale. Este punto de vista ha dado nacimiento en el modelo deluniverso fractal, describiendo un universo basado en los fractales.

Propiedades de aplicación

Las propiedades de aplicación de las fractales son muy numerosos, se puede citar particular^[3]

en biología, reparto de las estructuras de las plantas, bactéries, hojas, ramas de árboles,..
géologie, estudio del relief, costas y cursos de agua, estructuras de rocas, aludes...
paléontologie, ley de potencia de las apariciones y extinciones de especies
morphologie animale, estructuras de las invertébrés, plumas de pájaros, ...
en medicina, estructura de los pulmones, intestinos, battements del corazón
en meteorología, nubes, vortex, banquise, olas scélérates, turbulences, estructura de la foudre
vulcanologie, previsión de erupciones volcánicas, terremotos
astronomie con la descripción de las estructuras deluniverso, cratères sobre la Luna, reparto de los exoplanètes y de las galaxias...
en ciencias humanas, estructura urbana, evolución de la demografía
en economía, previsión de las krachs bursátiles
En los artes, arte gráfico bien sobre, pero también en literatura, en música, al cine...

Todas estas propiedades - y bien otras - pueden beneficiar descripción y de una modelización en términos fractals de los fenómenos asociados.

Galería de fotos

Juntos de Mandelbrot

Juntos de Julia $0.3+0.5i$

El éponge de Menger

Continuación que extiende hacia el flocon de Koch

Informático

Fractint Es un conjunto software libre, gratuito y open fuente destinado a trazar numerosos tipos de fractales.
Sterling Es un generador de fractales gratuito para Windows.
XaoS Es una herramienta interactiva francophone que permite un descubrimiento a la vez técnico y poético de los fractales.
Qosmic Es un software que se interesa a la edición de llamas fractales, los devueltos son generados manera algorithmique.

Métodos informáticos de cálculo
- Sistema de funciones itérées (IFS).
- Sistema de Lindenmayer o L-System .
- Métodos topologiques.
- Algorithme Diamante-Cuadrado

Utilizaciones industriales

Superficie específica de Blaine : La finesse de broyage de un ciment es expresada en términos de superficie específica (cm²/g) y medida por el test de Blaine, dicho de perméabilité al aire, utilizando la relación de Arcy-Kozeny que establece que la travesía de una cama de granules por un fluido es afectada por la superficie específica de las granules. Así, que calcula la duración que pone un gas bajo presión a atravesar un volumen dado de granules, deduce la superficie de las granules. Más el broyage es fino, más la superficie calculada es de entidad. Esta experiencia que se produce en un volumen determinado, se puede imaginar obtener una superficie desarrollada infinita broyant siempre más finement el ciment. Se trata allí utilización industrial de un modelo explicado por los matemáticos fractales (un objeto de dimensión $n$ de medida acabada, limitado por una frontera de dimensión $n-1$ , de medida que extiende hacia el infinito).

Notas y referencias

↑ 50 años después de Einstein un sabio dilucida los misterios del universo, Ciencias y vida n°936, septiembre 1995, página 51.
↑ La Hacienda de las Paradojas, Philippe Panadero & Alain Cohen, Éd. Belin, 2007.
↑ El mundo de los fractales, Jacques Dubois & Jean Chaline

Anexos

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Fractale Sobre el Wiktionnaire (diccionario universal)

Bibliographie

Kenneth Falconer, Fractal Geometry, 1990, John Wiley & Su Ltd. ISBN 0-471-92287-0
Benoît Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, 1982, W. H. Freeman & Co. ISBN 0-7167-1186-9. Trad. : Los objetos fractals. Forma, suerte y dimensión, Flammarion, 2° éd. 1984.
Heinz-Otto Peitgen, The Ciencia of Fractal Imágenes, 1988, Springer Verlag, ISBN 0-387-96608-0.
Heinz-Otto Peitgen, Fractals for the classroom, Nueva York, Springer Verlag, 1993.
Michael F. Barnsley, Fractals Everywhere, Morgan Kaufmann. ISBN 0-12-079061-0
Bernard Sapoval, Universalidades y fractales, Flammarion, coll. Campos.
Jacques Dubois & Jean Chalin, El mundo de los fractales, 2006, Ed Ellipses, ISBN 978-2-7298-2782-3.