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División euclidienne

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matemáticos, y más precisamente en aritmética, la división euclidienne o división entera es una operación que, a dos enteras naturalidades llamado dividendo y diviseur , asocia dos enteros llamados quotient y resto . Inicialmente definida para dos enteras naturalidades no nuls, se generaliza a los enteros relativos y a los polynômes, por ejemplo.

Esta división es en la base de las théorèmes de laaritmética elemental, como aquella de laaritmética modulaire que da lugar en la creación de las congruences sobre los enteros.

Sumario

Definiciones

División euclidienne en los enteros positivos

El théorème de división euclidienne para enteros positivos se énonce así : para todos enteros tiene y b positivos, con b no ningún, hay una única pareja de enteros q y r como la relación ha=bq+r sea verificada, y como r sea comprendido entre 0 y b-1 al sentido ancho. El entero q es llamado quotient de la división de ha por b, y el entero r resto de esta división.

Demostración

Estén tiene y b dos enteros positivos, con b no ningún.

Existencia

Consideremos el juntos E definido por :

E = \left\{ x \in \mathbb{N}\quad | \quad \exist z \in \mathbb{N}\, x = a - bz\right\}

E Es no vacío porque contiene tiene. Como E es una parte no vacía de N , por axiome, el mínimo de E existe. Anotemos r este mínimo y q el entero que lo define, es decir aquel que verifica la igualdad ha - b.q = r, Por construcción r es un entero natural. El entero r - b no puede ser elemento de E y pues es estrictamente negativo, lo que muestra que r es estrictamente más pequeño que b. La existencia es demostrada entonces.

Unicité
Supongamos que hay cuatro enteros q1,q2, r1 y r 2 formando dos parejas de soluciones. Por diferencia, (q1 - q2).b + (r1 - r2) es ningún. Esta igualdad muestra que b divide r1 - r2 . Como r1 y r 2 son estrictamente más pequeños que b y positivos, r1 - r2 es comprendido estrictamente entre - b y b . El solo valor múltiple de b posible para r1 - r2 es pues cero. En conclusión r1 es igual a r 2 pues q1 es también igual a q 2.
 

División euclidienne en los enteros relativos

\forall (a,b)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}^*, \exists q, r\in\mathbb{Z} / a=b.q+r \quad et \quad |r| < |b|

A dos enteros tiene y b , con b no ningún, la división euclidienne asocia un quotient q y un resto r, todo dos enteros, verificando :

La afirmación de la existencia del resto y del quotient es llamada Théorème de la división euclidienne para los enteros.

Se era posible de definir una división tal que la unicité del quotient y del resto sea garantizada, sería sin embargo incompatible con el caso general de la división en los anillos euclidiens.

Demostración

La definición de la división euclidienne sobre las enteras naturalidades permite probar la existencia de dos enteros naturales q1 y r 1 tales qué

|a| = |b|q_1 + r_1 Con r _1< |b|

Un pequeño estudio sobre los signos respectivos de ha y b permite dar para la división euclidienne de ha por b

Para ha y b negativos , quotient q1 y resto - r1
para tiene negativo y b positf , quotient - q1 y resto - r1
para tiene positivo y b negativo , quotient - q1 y resto r1
Para ha y b positivos, quotient q1 y resto r1
Pero el unicité no es siempre adquirida si se no impone r positivo o ningún. En efecto sí ha = bq + r con r estrictamente positivo entonces ha = b(q+1) + r - b en el cual |r-b| < |b| proporciona otra pareja solución.
 

División euclidienne en el conjunto de los polynômes

Artículo detallado : División de un polynôme.

La división euclidienne según las potencias décroissantes existe si el anillo es definido sobre un cuerpo : \forall (A,B)\in\mathbb{K}[X]\times\mathbb{K}[X]^*,\quad \exists !Q, R\in\mathbb{K}[X], A=B.Q+R \quad avec \quad \operatorname{deg}(R) < \operatorname{deg}(B)

A dos polynômes TIENE y B a coeficientes en un cuerpo K con B no ningún, la división euclidienne asocia un único quotient Q y un único resto R, todo dos polynômes, verificando :

El unicité es garantizada aquí, en cambio es necesario que K sea un cuerpo. Si no la división es todavía a veces posible, si por ejemplo el coeficiente del monôme dominante de B es igual a 1, o más generalmente si el coeficiente del monôme dominante de B es inversible.

División euclidienne en un anillo

Artículo detallado : Anillo euclidien.

En ciertos tipos de anillos commutatifs unitaires íntegros, se puede definir una división euclidienne por

Tiene = bq + r con r = 0 donde v(r) < v(b) v que está una aplicación de TIENE - { 0 } en \mathbb N llamada stathme euclidien.

Se hay un stathme euclidien sobre el anillo TIENE, existe un que verifica la propiedad siguiente : sí tiene y b están dos elementos de HA como b divide tiene, entonces v(b) \scriptstyle {\leq} v(tiene). Un anillo que admite un stathme euclidien es llamado anillo euclidien. La definición de un stathme euclidien difiere de un autor al otro. Los informes lógicos entre las diferentes definiciones son abordados en el artículo Anillo euclidien.

Algorithmes De cálculo

Se se interesa en el cálculo de división euclidienne de dos enteros, conociendo al previo las operaciones de adición, de sustracción, de multiplicación, y de comparación, entre números enteros. Es fácil de traer el problema a dos enteros positivos, y se se restringe en este caso.

Los algorithmes descritos aquí-debajo calculan el quotient de la división euclidienne ; es bien claro que el resto deduce. Atención, el contrario no sería verdadero.

El primero método, natural pero ingenua, pide mucho demasiado de cálculos para grandes números. Se presenta luego dos métodos corrientes, de complejidad parecida : la primera conviene para cálculos basa 2, y pues para una programación informática ; la segundo método, esencialmente equivalente, es una adaptación para la base de numération habitual, la base décimale, y conviene pues para cálculos a mano. Es el algorithme enseñado a la escuela.

Método ingenuo

Para efectuar la división euclidienne de ha por b, se construye una continuación aritmética estrictamente décroissante (a_i) de razón (-b) : a_0=a, después a_{i+1}=a_i-b=a-(i+1)\times b. Hay pues un plus pequeño entero I como a_I<b : es decir a-I\times b<b\leq a-(I-1)\times b, lo que se escribe todavía 0\leq a-I\times b<b. El quotient de la división buscada es pues I, y el resto a-I\times b.

El número de no de este algorithme es pues I=\frac{a}{b} ; cada etapa requiere una sustracción y una comparación ; la complejidad de cálculo crece linéairement con ha, es decir exponentiellement con el tamaño de ha - sí se conviene de medir el tamaño de un entero por el número de cifras que requiere su desarrollo binaire (o décimal si se prefiere, encubrió no modifica las cosas que de una constante), este tamaño es del orden del logarithme del entero.

Método corriente, binaire

Una mera mejora consiste en hacer una investigación dichotomique, sobre el quotient : en lugar de recorrer como précédemment todos los enteros desde 0 mientras tanto de topar el bueno quotient, se va comenzar por encontrar rápidamente un entero cuyo se será seguro que es más grande que el quotient buscado ; en la lista acabada de quotients posibles restantes, se hará una investigación dichotomique.

El primer cálculo se hace simplemente que considera la continuación geométrica 2^n. Mientras 2^n\times b \le a, se incrémente n de 1 a cada etapa. Esté N el plus pequeño entero como 2^N\times b >a \,. El número de etapas para encontrar este entero es del orden log_2\left (\frac{a}{b}\right ) de . Cada una de estas etapas no pide que una multiplicación por dos (todavía más fácil que una adición, para una escritura binaire), y una comparación.

Para el segundo cálculo, se construye dos continuaciones (\alpha_n) y ; (\beta_n) lo una almacenará de las minorants del quotient buscado, el otro de los majorants estrictos. Se plantea pues \alpha_0=2^{N-1} y , \beta_0=2^Ndespués por récurrence :

Si \frac{\alpha_n+\beta_n}{2}\times b\le a, entonces se puede affiner el minorant, y se plantea pues \alpha_{n+1}=\frac{\alpha_n+\beta_n}{2} y en \beta_{n+1}=\beta_n\,
cambio, si \frac{\alpha_n+\beta_n}{2}\times b > a, se puede affiner el majorant, y se plantea \beta_{n+1}=\frac{\alpha_n+\beta_n}{2}, y .. \alpha_{n+1}=\alpha_n\,

Se muestra fácilmente por récurrence que en cada etapa n de este segundo cálculo, \alpha_n y están \beta_n dos enteros, todos dos múltiplos de y 2^{N-1-n} cuya diferencia vale 2^{N-1-n} ; esta remarce permite sobre todo de mostrar que las continuaciones son bien definidas hasta n=N-1, y que \alpha_{N-1} y no \beta_{N-1} difieren que de 1  ; ya que son respectivamente un minorant ancho y un majorant estricto del quotient, \alpha_{N-1}es el quotient buscado.

El número máximo de etapas para este cálculo es del orden log_2\left (\frac{a}{b}\right ) de (una de las dichotomies ha podido dar el bueno quotient antes la N - 1ème etapa, es el caso de igualdad de la comparación, al cual caso se puede arrestar el algorithme antes), que cada una no exige que una adición, una división por dos (fácil en escritura binaire, este no es evidentemente no una división euclidienne escondida), una multiplicación (que puede ser evitada, gestionando más de variables), y una comparación.

concaténant los resultados de los dos cálculos, se ve que este algorithme tiene una complejidad que crece logarithmiquement con \frac{a}{b}, y pues linéairement con el tamaño de tiene . La mejora es pues muy limpia.

Método corriente, décimale

Esté dos enteras naturalidades tiene y cuyas b\neq 0 se quiere efectuar la división. Se comienza por encontrar la más pequeña potencia de 10 tal qué b\times 10^{N_1+1}\geq a ; según el théorème de división euclidienne, hay entonces un único entero 0\leq q_1<10 como : q_1\times 10^{N_1}\times b\leq a< (q_1+1)\times 10^{N_1}\times b. Se se trae pues a hacer la división de por a-q_1\times 10^{N_1}\times b b ; la desigualdad precedente reloj que la primera potencia de 10 tal que 10^{N_2}\times b excèdera a-q_1\times 10^{N_1}\times b será estrictamente más pequeña qué 10^{N_1+1} ; se la anota 10^{N_2+1}. Se construye así una continuación de enteras naturalidades (N_i) estrictamente décroissante ; vale pues 0 a uno cierto rango ; se construye la continuación de enteros 0\leq q_i< 10 asociada de la misma façonqu'se ha construido q_1. El quotient buscado estará \sum_i q_i10^{N_i} : en efecto la desigualdad que da para la primera ocurrencia de estará N_r=0  : 0\leq a-b\times\sum_i q_i10^{N_i}<10^{N_r}\times b=b, lo que es bien la definición del quotient.

Se remarca que este método se divide como la precedente en dos etapas : primeramente una investigación de una potencia bastante grande, lo que pide nuevamente un número de cálculo logarithmique tiene , es decir lineal en el tamaño de tiene  ; luego un cálculo de todos los coeficientes q_i asociados a las diferentes potencias de 10 inferiores a la potencia bastante grande obtenida. Para cada cálculo de , q_iel algorithme pide de hecho un cálculo de división euclidienne intermediaria ; pero el quotient es a buscar sólo entre los enteros de 0 a 9  ; se hace pues rápidamente utilizando de las mesas.

Este método es aquella utilizada primaria lorqu'se trata de plantear una división.

En otros anillos

Ver también

A leer antes

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