Aguante de los matériaux

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Prueba de compresión sobre una éprouvette de hormigón, una presión creciente es aplicada verticalmente sobre la muestra mientras que dos aparatos miden las deformaciones longitudinales y transversales de la éprouvette

A la salida del test, el éprouvette se ha roto. Anotad la cassure longitudinale

El aguante de los matériaux, también llamada RDM, es una disciplina particular de la mécanique de los medios continuos que permiten el cálculo de las restricciones y deformaciones en las estructuras de los diferentes matériaux (máquinas, ingenio mécanique, edificio e ingenio civil).

La RDM permite traer el estudio del comportamiento global de una estructura (relación entre solicitaciones — fuerzas o parejas — y desplazamientos) a aquella del comportamiento local de los matériaux componiéndola (relación entre restricciones y deformaciones ). El objetivo es de concebir la estructura que sigue criterios de aguante, de deformación admisible y de coste financiero aceptable.

Cuando la intensidad de la restricción aumenta, hay primeramente deformación élastique (el matériau retoma su forma inicial cuando la solicitación desaparece), después deformación plástica (el matériaux no retoma su forma inicial cuando la solicitación desaparece, subsiste una deformación residual), y finalmente ruptura (la solicitación sobresale el aguante intrinsèque del matériau).

Sumario

1 Historia
2 Hipótesis de la RDM
3 Noción de viga
4 Solicitaciones
- 4.1 Solicitaciones elementales
5 Principios fundamentales de la teoría de las vigas
6 Algunas notaciones y definiciones
- 6.1 Restricciones mécaniques elementales
- 6.2 Restricciones mécaniques compuestas
7 Noción de placa
8 Notas y referencias
9 Artículos connexes
10 Vínculo externo

Historia

Primer curso de Aguante de los Matériaux dado por August Wöhler a la Universidad de Gotinga 1842. (Fuentes : ver discusión)

Hipótesis de la RDM

En su utilización corriente, la RDM apelado a las hipótesis siguientes :

El matériau está :

élastique (El matériau retoma su forma inicial después de un ciclo chargement déchargement),
Lineal (las deformaciones son proporcionales a las restricciones),
homogène (El matériau es asimismo naturaleza en toda su masa),
isotrope (Las propiedades del matériau son idénticos en todas las direcciones).

El problema está :

pequeños desplazamientos (las deformaciones de la estructura que resulta de su chargement son négligeables y no afectan prácticamente no su géométrie),
casi-statique (No de efecto dinámico),
casi-isotherme (No de cambio de temperatura).

Noción de viga

Artículo detallado : Teoría de las vigas.

La ingeniera utiliza el aguante de los matériaux antes todo para determinar las dimensiones de los elementos de construcción y verificar su aguante y su deformación. El uno de los elementos structurels el plus frecuente es la viga, es decir un objeto de gran longitud por informe en su sección, cargada en su plan mediano de symétrie.

Solicitaciones

Solicitaciones elementales

Tipo	Comentario	Ejemplo
Tracción	Allongement longitudinal, Se tira de de cada lado	Valla de remorquage
Compresión	Raccourcissement, Se apoya de cada lado	Poste que da soporte un plancher
Cisaillement	Glissement Relativo de las secciones	goujon De fijación
Torsion	Rotación por glissement relativo de las secciones derechas	Árbol de transmisión de un motor
Flexion Mero	Fléchissement Sin allongement de las fibras contenidas en el plan mediano	planche De plongeoir
Flexion Pura o circular	Fléchissement Sin esfuerzo que corta en ciertas zonas	Marchada de viga entre dos cargos concentrados

Principios fundamentales de la teoría de las vigas

Dos de las dimensiones de la viga son pequeñas por informe a la tercera. Dicho de otra manera las dimensiones de la sección derecha son pequeñas por informe en la longitud de la viga. Este principio permite approximer la viga por una línea (derecha o curva) y de las secciones derechas.

general, una longitud o una distancia del orden de dos a tres vez la más gran dimensión de la sección derecha es considerada suficiente para aplicar el modelo RDM.

El principio de Santo-que Viene precisa que el comportamiento en un punto quelconque de la viga, con tal que este punto sea alejado suficientemente zonas de aplicaciones de las fuerzas y de las conexiones, es independiente del modo cuyo son aplicadas las fuerzas y del modo cuyo son realizadas físicamente las conexiones; el comportamiento depende entonces únicamente del torseur de las fuerzas internas en este punto.

La consecuencia es que las restricciones producidas por un sistema de fuerzas en una sección apartada del punto de aplicación de estas fuerzas no dépendent que de la resultante general y del momento resultado del sistema de fuerzas aplicadas en izquierda de esta sección^[1].

El modelo RDM ya no es valida cuando el principio de Santo que Viene no es satisfecho, es decir a proximidad de las conexiones, de los espaldarazos o de los puntos de aplicación de las fuerzas. En estos casos particulares, hace falta aplicar los principios de la Mécanique de los medios continuos.

El principio de Navier-Bernoulli precisa que las secciones derechas a lo largo de la fibra mediana^[2] queden planeas después de deformación. Las deformaciones debidas en el esfuerzo que corta muestran que las secciones derechas no pueden quedar planeas pero padecen un gauchissement. Para mantener de este hecho el énoncé de este principio puede tomar la forma siguiente: dos secciones derechas infinitamente vecinas devienen después de deformación dos secciones izquierdas superposables por desplazamiento. Como este desplazamiento es pequeño, se puede considerar que los allongements o raccourcissements de todo trozo de fibra son funciones lineales de las coordinadas de la fibra en el plan de la sección^[1].

La ley de Hooke precisa que, en la propiedad élastique del matériau, las deformaciones son proporcionales a las restricciones.

El principio de superposición permite décomposer toda solicitación compleja en una suma de solicitaciones elementales cuyos efectos son sumados luego. Este principio es ligado directamente en la hipótesis de linéarité de la ley de Hooke.

El equilibrio statique de un sistema exige qué :

La suma de las fuerzas exteriores enteramente es igual al vecteur ningún :

$\sum \vec{F}_\text{ext} = \vec{0}$ .

La suma de los momentos calculados enteramente es igual al vecteur ningún :

$\sum \vec{M}_\text{ext} = \vec{0}$ .

El théorème de Castigliano define el desplazamiento del punto, lugar de aplicación de una fuerza, por la derivada del potencial élastique por informe de esta fuerza.

Algunas notaciones y definiciones

La terminología empleada que sigue la magnitud estudiada depende del punto de vista por informe a la pieza estudiada.

Magnitud	Punto de vista exterior	Punto de vista interior
mécanique	Esfuerzos	Restricciones
Geométrico	Desplazamientos^[3]	Deformaciones

Los esfuerzos (o chargement) reagrupen las fuerzas [N, kN o MN] y los momentos [Nm, kNm o MNm]. Los desplazamientos son el conjunto de los translations [unidades de longitud compatible con aquellas utilizadas para los momentos] y de las rotaciones [rad].

Restricciones mécaniques elementales

Ley de Hooke

La restricción normal $\sigma$ , expresada Pa o N/m², el más a menudo MPa o N/mm², es proporcional al allongement relativo $\varepsilon$ [sin dimensión] con un factor constant designado bajo el nombre de módulo de élasticité o todavía módulo de Young $E$ [unidad homogène a aquella de una restricción]:

$\sigma = E \cdot \varepsilon$

Con el allongement relativo $\varepsilon$ dado por la relación entre longitudes iniciales y finales : $\epsilon = \frac{\ell_\text{finale} - \ell_\text{initiale}}{\ell_\text{initiale}}$

Tracción / Compresión

Esta restricción es dicha restricción normal debida en la fuerza de tracción. $\sigma$ [Pa] Es igual a la intensidad de la fuerza $F$ [N] dividida por el área $S$ [ $m^2$ ] de la superficie normal en esta fuerza :

$\sigma_\text{traction} = \frac{F}{S}$

Criterio de contraine máxima: $\sigma_\text{maxi}=K_t \cdot \sigma_\text{calc} < Rpe = \frac{Re}{s}$ . Re: Aguante élastique, Kt : coeficiente de concentración.

Kt Depende de la géométrie de la viga (ex: para una vivo en redes triangulaire Kt=2.5). S es un coeficiente de seguridad (ex: para los gaines de un ascenseur s=12).

Flexion

Por efecto del momento de flexion $M_3$ [N.M], la restricción de flexion a una distancia $x_2$ [m] de la fibra neutre se expresa en funciones del momento quadratique $I_3$ [m^4] de la sección estudiada por la relación :

$\sigma_\text{flexion}= -\frac{M_3 \cdot x_2}{I_3}$

Con $I_3 = \int_S { x_2^2}\mathrm{d}S$ , momento quadratique, que es designado habitualmente por inercia de la sección por informe al eje del momento de flexion. Para una sección rectangulaire : $I_3 = \frac{b \cdot h^3}{12}$ (b:basa, h:altura). Para una sección circular : $I_3 = \frac{\pi_\cdot r^4}{4}$ .

El théorème de Huygens permite calcular el momento quadratique de una sección cortada en varios trozos: $I_A = I_G +S \cdot d^2$ .

Cisaillement

$\tau_\text{moy} = \frac{F_\text{cisaillement}}{S} = G \cdot \gamma$

Con el módulo de cisaillement [Pa] : $G = \frac{E}{2(1+\upsilon)}$ .

Para tener la restricción tangentielle máxima :

Para una sección rectangulaire : $\tau_\text{maxi} = \frac{3}{2} \cdot \tau_\text{moy}$
Para una sección circular : $\tau_\text{maxi} = \frac{4}{3} \cdot \tau_\text{moy}$

Torsion

Lo que sigue conserne únicamente las vigas en secciones circulares.

$\theta = \frac{M_t}{G \cdot I_0}$ Donde $\theta$ es el ángulo unitaire de torsion ( rad/mm). El momento quadrapolaire $I_0$ de la sección es dado por : $I_0 = \frac{\pi \cdot R^4}{2}$ . Se puede también calcular $\tau$ con $\tau = \frac{Mt \cdot R}{I_0}$ .

Criterio de deformación: $\theta = \frac{M_t}{G \cdot I_0} < \frac{\pi \cdot 10^{-3}}{4 \cdot 180}$ (rad/mm) $= \frac{1}{4}$ (°/m)
Criterio de contraine máxima: $\tau_\text{maxi}=K_t \cdot \tau_\text{calc} < Rpg = \frac{Rg}{s}$ .

Estudio de la deformación:Se puede obtener el aspecto de la déformée : $y''(x)=\frac{M_\text{fz}(x)}{E \cdot I_\text{gz}}$ . Integrando 2 vez, y que determina las constantes, es posible de encontrar la forma de una viga.

Referencias teóricas

La restricción normal $\sigma$ : restricción
El allongement relativo $\varepsilon$ : tenseur de las deformaciones
El módulo de élasticité longitudinal $E$ o módulo de Young : módulo de Young
El módulo de cisaillement $G$ o el módulo de élasticité tangentiel o todavía módulo de glissement : módulo de cisaillement
El coeficiente de Pescado $\nu$ : coeficiente de Pescado
La inercia $I$ : momento de inercia

Restricciones mécaniques compuestas

Tipo	Comentario	Ejemplo
Flexion Y torsion		Árbol de transmisión
Flexion Y tracción		Vi
Flexion Y compresión	El flambage provoca los mismos efectos	Poste de ángulo
Cisaillement Y compresión		pile De puente en río navigable
Cisaillement Y tracción		boulon précontraint

La viga ha compuesto generalmente de un matériau isotrope homogène y cargada en su plan mediano, vertical el más a menudo. En estas condiciones, el conjunto de los esfuerzos exteriores aplicado por una parte de una sección derecha quelconque se trae a :.

Un esfuerzo longitudinal de compresión o tracción : el esfuerzo normal ;
Un esfuerzo normal de cisaillement : el esfuerzo que corta ;
Un momento fléchissant.

Esto son los elementos de reducción de los cargos exteriores en el derecho de la sección considerada.

Un caso mero es constituido por una viga derecha, horizontal, de sección constante, cargada uniformément y descansando sobre dos espaldarazos meros. Si se designa por "p" la carga lineal y por "l" la longitud de la viga, la determinación de los elementos de reducción de los esfuerzos mantiene en algunas fórmulas meras :

La reacción en cada espaldarazo es una fuerza vertical, iguala en la mitad de la carga total sea $p\ell/2$ ,
El esfuerzo que corta varía linéairement de a $+p\ell/2$ $-p\ell/2$ con un valor ninguna en medio de travée. Se tiene que verificar que la restricción de cisaillement al vecindario del espaldarazo resto inferior en el aguante al cisaillement del matériau
El momento fléchissant es ningún sobre espaldarazo y máximo en medio de travée donde vale $p\ell^2/8$ . Se tiene que verificar que las restricciones en la sección a mi-travée no sobresalen ni el aguante en la compresión, ni el aguante en la tracción del matériau.

Noción de placa

Artículo detallado : Teoría de las placas.

Notas y referencias

↑ ^{Tiene y b} M. Albigès & TIENE. Rincón, Aguante de los matériaux, Ediciones Eyrolles 1969
↑ Este principio es también válido para las placas y cascos, la fibra mediana es reemplazada por plan mediano
↑ Para el usuario de la estructura, la palabra desplazamiento será el más a menudo reemplazado, con toda la razón para le, por la palabra deformación.