Teorema de Sturm

teorema de sturm - Wikilingue - Encydia

El teorema de Sturm permite calcular el número de raíces reales diferentes de una función polinómica comprendidas en un intervalo dado. Este teorema fue establecido el 1829 por Charles Sturm.

Enunciado del teorema

El número de raíces reales diferentes en un intervalo [a,b] de un polinomio con coeficientes reales, del cual a y b no son raíces, es igual a la diferencia del número de cambios de signo de la sucesión de Sturm a los extremos de este intervalo.

Sucesión de Sturm

La sucesión de Sturm o cadena de Sturm se construye a partir de los polinomios $P_0=P~$ y de su derivada $P_1=P^\prime$

$P=x^n + \ldots + a_1 x + a_0$

$P^\prime=n*x^{(n-1)} + \ldots + a_1$

Esta sucesión es la secuencia de resultados intermedios que se obtiene aplicando el algoritmo de Euclides a y $P_0~$ su derivado $P_1~$ .

Para obtener esta sucesión se calcula:

$\begin{matrix} P_0&=&P_1 * Q_1 - P_2\\ P_1&=&P_2 * Q_2 - P_3\\ &\ldots&\\ \end{matrix}$

Los _{P y son} por lo tanto los opuestos de los residuos sucesivos de la división de los dos termas precedentes de la sucesión. Si $P~$ sólo tiene raíces diferentes, el último término es una constante no nula. Si este término es nulo, $P~$ admite raíces múltiples, y en este caso se puede aplicar el teorema de Sturm usando la sucesión $T_0, T_1, \ldots, T_{r-2}, 1$ que se obtiene dividiendo $P_1, P_2, \ldots, P_{r-1}\ entre\ P_{r-1}$ .

Si se nota $\sigma(\xi)~$ el número de cambios de signo (el cero no se cuenta como un cambio de signo) en la sucesión

$P(\xi), P_1(\xi), P_2(\xi),\ldots, P_r(\xi)$ .

el teorema de Sturm dice que para dos números reales $a, b~$ , $a<b~$ , a y b no son raíces de P , el número de raíces en el intervalo $[a,b]~$ es:

$\sigma(a)-\sigma(b)~$ .

Se puede utilizar este teorema para calcular el número de raíces reales diferentes escogiendo de manera apropiada los hitos $a~$ y , $b~$ por ejemplo, todas las raíces reales de un polinomio son dentro del intervalo $[-M, M]~$ con: