Logaritmo natural

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El logaritmo natural, antes conocido como logaritmo hiperbólico o también logaritmo neperiano, es el logaritmo en base e, donde e es una constante irracional que vale aproximadamente 2.718281828459. En términos sencillos, el logaritmo natural de un número x es la potencia a que habría que elevar e para que dé x — por ejemplo el logaritmo natural de e es 1 porque ^{e 1} = e, mientras que el logaritmo natural de 1 tiene que ser 0, dado que e⁰ = 1. El logaritmo natural se puede definir para todos los números reales positivos x como la área comprendida bajo la curva y = 1/t desde 1 a x y también se puede definir para los números complejos diferentes de cero tal como se explicará más abajo.

Gráfica de la función logaritmo natural. La función tiende a menos infinito cuando x tiende a 0, pero crece poco a poco hacia más infinito cuando x aumenta su valor.

La función logaritmo natural también se puede definir como la función inversa de la función exponencial, trayendo a las siguientes identidades:

$e^{\ln(x)} = x \qquad \mbox{si }x > 0\,\!$

$\ln(e^x) = x.\,\!$

En otras palabras, la función logaritmo es una biyección del conjunto de los números reales positivos al conjunto de todos los números reales. De forma más precisa, es un isomorfismo del grupo que forman los números reales positivos con la operación multiplicación en el grupo que forman los números reales con la operación adició.

Los logaritmos se pueden definir para cualquier base positiva diferente de 1, no sólo e, y son útiles para resolver ecuaciones en las cuales la incógnita aparece como exponente de alguno otro número.

Mesa de contenidos

1 Convenciones sobre la notación
2 Porque se dice "natural"
3 Definiciones
4 Propiedades
5 Derivada, series de Taylor
6 El logaritmo natural en la integración
7 Valor numérico
- 7.1 Alta precisión
- 7.2 Complejidad computacional
8 Logaritmos complejos
9 Veáis también
10 Enlaces externos
11 Referencias

Convenciones sobre la notación

Los matemáticos, los estadísticos y algunos ingenieros generalmente emplean tanto "log(x)" cómo "ln(x)" para expresar log_e(x), es decir, el logaritmo natural de x, y escriben "log₁₀(x)" si el que quieren expresar es el logaritmo en base 10 de x.

Algunos ingenieros, biólogos y otros, generalmente escriben "ln(x)" (u ocasionalmente "log_e(x)") cuando se refieren al logaritmo natural de x, y emplean "log(x)" para significar log₁₀(x) o, en el caso de algunos informáticos, log₂(x).

En los lenguajes de programación más habitualmente empleados, incluyendo C, C++, Fortran, y BASIC , "log" o "LOG" se refiere al logaritmo natural.

En las calculadoras, el logaritmo natural se escribe ln, mientras log es el logaritmo en base 10.

Porque se dice "natural"

Inicialmente podría parecer que como empleamos el sistema decimal para casi todos los cálculos, la base 10 tendría que ser más "natural" que la base e, pero hay varios sentidos en los cuales log_e es más "natural". En primer lugar, a trabas de las matemáticas y de las ciencias aparecen variables como exponentes de e en muchas más expresiones importantes que no como exponentes de 10 —después de todo, el único de especial que tiene el 10 es que resulta ser el número de dedos de las manos con que nacen la mayoría de los humanos—. Así pues, el logaritmo natural es casi siempre más útil a la práctica. Como ejemplo relacionado, consideráis el problema de derivar una función logarítmica:

$\frac{d}{dx}\log_b(x) =\frac{\log_b e}{x}$

Si la base b es igual a e , entonces la derivada es simplemente 1/x, y a x = 1 esta derivada vale 1. Otro sentido en que los logaritmos en base e son más naturales es que se pueden definir bastante más fácilmente en términos de una simple integral o en serie de Taylor y esto no es cierto por los otros logaritmos.

Otros sentidos de esta naturalidad no hacen uso del cálculo. Como ejemplo, hay varias series sencillas que involucran el logaritmo natural. De hecho, Pietro Mengoli y Nicholas Mercator los denominaron logarithmus naturalis unas cuántas décadas antes de que Newton y Leibniz desarrollaran el cálculo.^[1]

Definiciones

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ln(x) definida como la area bajo la curva f(x) = 1/x

Formalmente, el ln(a )se puede definir como el área comprendida entre el eje de abcises y la gráfica (integral) de 1/x desde 1 hasta a ,esto es,

$\ln(a)=\int_1^a \frac{1}{x}\,dx.$

Esto define un logaritmo porque satisface las propiedades fundamentales de un logaritmo:

$\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b) \,\!$

Esto se puede demostrar haciendo $t=\tfrac xa$ tal como sigue:

$\ln (ab) = \int_1^{ab} \frac{1}{x} \; dx = \int_1^a \frac{1}{x} \; dx \; + \int_a^{ab} \frac{1}{x} \; dx =\int_1^{a} \frac{1}{x} \; dx \; + \int_1^{b} \frac{1}{t} \; dt = \ln (a) + \ln (b)$

El número e entonces se puede definir como el único número real a tal que ln(a ) = 1.

De forma alternativa, si primero se ha definido la función exponencial empleando una serie infinita, el logaritmo natural se puede definir como su función inversa, es decir, ln(x) es una función tal que $e^{\ln(x)} = x\!$ . Dado que el recorrido de la función exponencial real son todos los números reales positivos y cómo que la función exponencial es estrictamente creciente, la función logaritmo definida así es muy definida para todos los valores positivos de x.

Propiedades

$\ln(1) = 0\,$

$\ln(-1) = i \pi \quad \,$

$\ln(x) < \ln(y) \quad{\rm for}\quad 0 < x < y\;$

$\frac{h}{1+h} \leq \ln(1+h) \leq h \quad{\rm for}\quad h > -1\;$

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1.\,$

Derivada, series de Taylor

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El polinomio de Taylor por $\ln (1+x)\,$ nomes mujer aproximaccions cuidadosas por el rango -1 < x ≤ 1. Notáis que, por x > 1, el polinomio de Taylor mujer aproximaciones "peores".

La derivada del logaritmo natural bien dada por

$\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}.\,$

Esto trae a su desarrollo en serie de Taylor

$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots \quad{\rm per}\quad \left|x\right| \leq 1\quad {\mbox{ tret que}}\quad x = -1$

Esta serie también es conocida como la serie de Mercator.

Sustituyendo x-1 por x, se obtiene una forma alternativa por el mismo desarrollo en serie de ln(x)

$\ln(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} (x-1) ^ n = (x - 1) - \frac{(x-1) ^ 2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \frac{(x-1)^4}{4} \cdots$

${\rm per}\quad \left|x-1\right| \leq 1\quad {\rm \mbox{ tret que}}\quad x = 0.$ ^[2]

Empleando la tranformació de Euler a la serie de Mercator, se obtiene el siguiente, qué es válido para cualquier x con valor absoluto más grande que 1:

$\ln{x \over {x-1}} = \sum_{n=1}^\infty {1 \over {n x^n}} = {1 \over x}+ {1 \over {2x^2}} + {1 \over {3x^3}} + \cdots$

Esta serie es similar a una fórmula de tipo BBP.

El logaritmo natural en la integración

El logaritmo natural permite la integración sencilla de funciones de la forma g(x) = f '(x)/f(x): una función primitiva de g (x) viene dada por ln(|f(x)|). La idea parte de la regla de la cadena y del siguiente hecho:

$\ {d \over dx}\left( \ln \left| x \right| \right) = {1 \over x}.$

En otras palabras,

$\int { 1 \over x} dx = \ln|x| + C$

$\int { \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx} = \ln |f(x)| + C.$

Un ejemplo se da en el caso de g (x) = tan(x):

$\int \tan (x) \,dx = \int {\sin (x) \over \cos (x)} \,dx$

$\int \tan (x) \,dx = \int {-{d \over dx} \cos (x) \over {\cos (x)}} \,dx.$

Haciendo f (x) = cuerpo(x) y f' (x)= - sin(x):

$\int \tan (x) \,dx = -\ln{\left| \cos (x) \right|} + C$

$\int \tan (x) \,dx = \ln{\left| \sec (x) \right|} + C$

Dónde C es una constante de integración arbitraria.

El logaritmo natural se puede integrar usando la integración por partes:

$\int \ln (x) \,dx = x \ln (x) - x + C.$

Valor numérico

Para calcular el valor numérico del logaritmo natural de un número, la expresión de la serie de Taylor se puede reescribir cómo:

$\ln(1+x)= x \,\left( \frac{1}{1} - x\,\left(\frac{1}{2} - x \,\left(\frac{1}{3} - x \,\left(\frac{1}{4} - x \,\left(\frac{1}{5}- \ldots \right)\right)\right)\right)\right) \quad{\rm per\quad a}\quad \left|x\right|<1.\,\!$

Para obtener una convergencia más rápida, se puede usar la siguiente identidad:

$\ln(x) = \ln\left(\frac{1+y}{1-y}\right)$	$= 2\,y\, \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{3} y^{2} + \frac{1}{5} y^{4} + \frac{1}{7} y^{6} + \frac{1}{9} y^{8} + \ldots \right)$
	$= 2\,y\, \left( \frac{1}{1} + y^{2} \, \left( \frac{1}{3} + y^{2} \, \left( \frac{1}{5} + y^{2} \, \left( \frac{1}{7} + y^{2} \, \left( \frac{1}{9} + \ldots \right) \right) \right)\right) \right)$

sabiendo que y = (x−1)/(x+1) y x > 0.

Para valores de ln(x) donde x > 1, cuanto más cerca de 1 es x, más rápida es la convergencia. Se pueden emplear las identidades asociadas con el logaritmo para sacar provecho de esto:

$\ln(123,456)\!$	$= \ln(1,23456 \times 10^2) \,\!$
	$= \ln(1,23456) + \ln(10^2) \,\!$
	$= \ln(1,23456) + 2 \times \ln(10) \,\!$
	$\approx \ln(1,23456) + 2 \times 2,3025851 \,\!$

Estas técnicas ya se usaban antes del desarrollo de las calculadoras a base de emplear mesas y haciendo manipulaciones tales como las descritas antes.

Alta precisión

Para calcular el logaritmo natural con muchos dígitos de precisión, la aproximación empleando la serie de Taylor no es eficiente porque su convergencia es lenta. Una alternativa es usar el método de Newton para calcular la inversa de la función exponencial, las series de la cual convergen más rápidamente.

Una alternativa para cálculos de precisión extremadamente alta es la fórmula

$\ln x \approx \frac{\pi}{2 M\left(1, \frac{4}{s}\right)} - m \ln 2$

Dónde M indica la mediana aritmètico-geométrica y

$s = x \,2^m > 2^{\frac{p}{2}},$

con m escogida de forma que se obtengan p bits de precisión. De hecho, si se usa este método, se puede calcular la función exponencial de forma más eficiente a base de emplear el método de Newton para encontrar la inversa del logaritmo natural. (Las constantes ln 2 y π se pueden precalcular hasta la precisión deseada empleando cualquiera de los muchos algoritmos conocidos que convergen rápidamente.)

Complejidad computacional

La complejidad computacional de calcular el logaritmo natural (usando la mediana aritmética geométrica) es O(M(n) ln n). Aquí n es el número de dígitos de precisión con los cuales se tiene que calcular el logaritmo natural y M (n) es la complejidad computacional de multiplicar dos númerosde n dígitos.

Logaritmos complejos

Artículo principal: Logaritmo complejo

La función exponencial se puede extender a una función que da un número complejo como e^x para cualquier número complejo x; simplemente empleando la serie de Taylor de la función exponencial con x complejo. La inversa de esta función mujer lugar al logaritmo complejo y tiene la mayoría de las propiedades del logaritmo ordinario. Pero hay dos dificultades involucradas: no hay ninguna x tal que e^x = 0; y además resulta que un giro de 360 grados es e^{2πy =} 1 = e⁰. Aunque la propiedad multiplicativa todavía funciona para la función exponencial compleja, e^z = e^{z+2nπy ,}para cualquier complejo z y cualquier entero n.

Por lo tanto el logaritmo no puede ser definido para todo el plan complejo e incluso entonces es una función multivaluada – cualquier logaritmo complejo se puede cambiar por un logaritmo "equivalente" en base de añadirle a voluntad cualquier entero multiplicado por 2πy .El logaritmo complejo sólo puede ser univaluat en el corte del plan. Por ejemplo, ln y = 1/2 πy oro 5/2 πy oro −3/2 πy ,etc.; y también y 4 = 1, 4 log y se puede definir como 2πy ,o 10πy o −6 πy ,y esto.